Adiabatische Zustandsänderung

Eine adiabatische oder adiabate<ref>Schreibweise wie in Abschnitt 4.4 von Bošnjaković/Knoche „Technische Thermodynamik Teil 1“, 8. Auflage, Steinkopff-Verlag Darmstadt 1998.</ref><ref>Schreibweise wie in Abschnitt 3.3.4, Cornel Stan „Thermodynamik des Kraftfahrzeugs“, 2. Auflage, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-27629-3.</ref> Zustandsänderung (gr. α a „nicht“ und διαβαίνειν diabaínein „hindurchgehen“) ist ein thermodynamischer Vorgang, bei dem ein System von einem Zustand in einen anderen überführt wird, ohne Wärme mit seiner Umgebung auszutauschen. Adiabat wird synonym zu wärmedicht verwendet<ref>Siehe Abschnitt 2.1 "Wärmeübergang" in Bošnjaković/Knoche „Technische Thermodynamik Teil 1“, 8. Auflage, Steinkopff-Verlag Darmstadt 1998</ref>.

Bedeutung

Bei einer adiabatischen Zustandsänderung eines thermodynamischen Systems findet kein Wärmeaustausch <math>Q</math> mit der Umgebung statt (<math>Q = 0</math>).

Arbeit am System

Eine Arbeit <math>W</math>, die am System verrichtet wird, ohne seine äußeren Parameter wie potentielle oder kinetische Energie zu verändern, bewirkt nach dem Ersten Hauptsatz ausschließlich eine Änderung der inneren Energie <math>U</math>:

<math>\Delta U = W</math>

Arbeit vom System

Wird hingegen Arbeit vom System verrichtet, dann wird diese Energiemenge der inneren Energie des Systems entzogen und ist daher negativ zu werten. Da sich Wärmeübergang praktisch wie theoretisch nie vollständig verhindern lässt, ist der adiabatische Prozess eine mehr oder weniger gut realisierte Idealisierung. Er macht aber viele Berechnungen und theoretische Überlegungen einfacher oder ermöglicht sie überhaupt erst.

Umkehrbarkeit

Ob eine adiabatische Zustandsänderung irreversibel oder reversibel ist, hängt davon ab, ob im System während des Vorgangs Entropie erzeugt wird oder nicht. Da keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird, kann dem System von außen keine Entropie zugeführt oder entnommen werden. Bei der reversiblen adiabatischen Zustandsänderung bleibt die Entropie des Systems daher konstant, es handelt sich damit auch um eine isentrope Zustandsänderung (Beispiele s. u.). Bei einer irreversiblen adiabatischen Zustandsänderung steigt die Entropie des Systems an, dieser Prozess läuft spontan ab. Beispiele sind der Ausgleich von unterschiedlichen Temperaturen, Drücken oder Konzentrationen in verschiedenen Teilen eines zusammengesetzten Systems, chemische Reaktionen bis zum Erreichen des Gleichgewichts, Abbremsung einer Bewegung durch Reibung. Allgemein ausgedrückt, handelt es sich um den Abbau von Ungleichgewichten (Relaxation) unter der Bedingung, dass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet. Eine solche irreversible Zustandsänderung kann zwar isentrop gemacht werden, indem gerade so viel Wärme nach außen abgeführt wird, dass die Entropie des Systems konstant bleibt. Dann handelt es sich aber um eine nicht-adiabatische Zustandsänderung.

Reversible adiabatische Zustandsänderungen spielen eine wichtige Rolle bei der axiomatischen Begründung der Thermodynamik nach Carathéodory. Grundlage ist das Axiom „Es gibt in der Nähe jedes reversibel erreichbaren Zustandes Zustände, welche nicht adiabatisch-reversibel, also nur irreversibel oder überhaupt nicht erreichbar sind“<ref>A. Sommerfeld: Vorlesungen über Theoretische Physik, Bd. V: Thermodynamik und Statistik. Nachdruck Harri Deutsch, Thun 1988, S. 31.</ref>. Daraus kann die Existenz einer neuen Zustandsgröße bewiesen werden, die die Entropie ist. Zustände, zwischen denen nur irreversible Übergänge möglich sind, unterscheiden sich nämlich in ihrer Entropie, so dass kein adiabatisch-reversibler (also isentroper) Übergang zwischen ihnen existieren kann.

Näherungsweise Realisierung

Eine ideale adiabatische Zustandsänderung setzt voraus, dass das System, in dem die Zustandsänderung stattfindet, perfekt gegen Wärmeströme jeglicher Form isoliert ist. Es wären also Wärmeleitung, konvektive Wärmeübertragung und Strahlungsaustausch vollständig zu unterbinden. Das System darf von einem Wärmestrom durchflossen werden, sofern keine Wärme daraus im System verbleibt; der Wärmestrom kann dann als nicht zum System gehörig betrachtet werden (Beispiele: ein völlig transparentes von der Sonne beschienenes System).

In der Realität ist eine vollständige Wärmeisolation nicht erreichbar, aber reale Vorgänge können in guter Näherung adiabatisch ablaufen, wenn

• sie in einem gut isolierten Behälter stattfinden (z. B. chemische Reaktionen in einem adiabatischen Kalorimeter),
• die Zustandsänderung so schnell verläuft, dass in der kurzen Zeit wenig Wärme zu- oder abfließen kann (z. B. in einem Verbrennungsmotor, bei einer Luftpumpe oder bei der Schallausbreitung) oder
• das Volumen des Systems sehr groß ist, so dass Wärmeströme an seinem Rand praktisch keine Rolle spielen (z. B. bei thermisch aufsteigenden Luftpaketen).

In der Realität handelt es sich praktisch immer um zumindest partiell diabatische Prozesse, so dass man nur noch näherungsweise von einer adiabatischen Zustandsänderung ausgehen kann.

Beispiele

• Die Kompression der Luft in einer Luftpumpe ist näherungsweise eine adiabate Zustandsänderung. Wenn aber der Pumpvorgang (Kompression) häufig genug durchgeführt wird, ist eine deutliche Temperaturerhöhung an der Pumpe fühlbar, was zeigt, dass dieser Vorgang nur näherungsweise adiabat ist. Die Arbeit, die an der Pumpe verrichtet wird, erhöht direkt die innere Energie und damit die Temperatur des Luftgemisches (umgangssprachlich abweichend vom thermodynamischen Begriff der Wärme: Kompressionswärme oder Verdichtungswärme genannt). Bei längerem Abwarten wird spürbar, dass Wärmeenergie an die Pumpe abgegeben bzw. von ihr aufgenommen wird. Erst nach Vollendung des Prozesses merkt man eine Erwärmung der Fahrradpumpe und damit einen Fluss der Wärmeenergie. Ein pneumatisches Feuerzeug nutzt dieses Verfahren. Auch die extrem schnelle primäre Erhitzung der Luft beim Wiedereintritt von Raumflugkörpern ist auf Grund der extrem hohen Verdichtungsgeschwindigkeiten ein näherungsweise adiabatischer Prozess. Allerdings verteilt sich die Wärme im Anschluss danach sehr schnell durch Leitungs-, Strömungs- und Strahlungsprozesse.
• Umgekehrt zur Kompression verursacht ein adiabatischer Druckabfall eine Abkühlung der Luft. Dies geschieht zum Beispiel innerhalb eines aufsteigenden Luftstromes (bei thermischem Auftrieb oder beim Überströmen eines Gebirges) oder auch auf der Oberseite von Flugzeugtragflächen. Beim Abkühlen verringert sich die Sättigungskonzentration für Wasserdampf. Unterschreitet diese den tatsächlichen Wassergehalt, kondensiert der darüber liegende Wasseranteil zu kleinen Wassertröpfchen (Bildung von Wolken oder Nebel).

Arbeit bei einer reversiblen adiabatischen (isentropen) Zustandsänderung eines idealen Gases

Im Falle eines idealen Gases gilt für die innere Energie:

<math>

U = N {f \over 2} k_\text{B} T </math> Wegen <math> f = {2 \over \kappa - 1} </math> folgt:

<math>

\ U = {N \over \kappa - 1} k_\text{B} T = {{N \over N_\text{A}} \over \kappa - 1} N_\text{A} k_\text{B} T = {n R \over \kappa - 1} T </math>.

Hierbei bezeichnen

<math>N</math>	die Anzahl der Gasteilchen,
<math>N_\mathrm A</math>	die Avogadro-Konstante,
<math>n</math>	die Stoffmenge (in Mol),
<math>f</math>	die Anzahl der nicht eingefrorenen Freiheitsgrade,
<math>k_\text{B}</math>	die Boltzmann-Konstante,
<math>R</math>	die allgemeine Gaskonstante.
<math>T</math>	die absolute Temperatur und
<math>\kappa</math>	den Isentropenexponenten.

Damit gilt wegen <math> W = \Delta U</math> für die bei einer reversiblen adiabatischen (isentropen) Zustandsänderung geleistete Arbeit (Volumenarbeit):

<math>

W = {n R \over \kappa - 1} \Delta T = {- n R \over \kappa - 1} \left(T_1 - T_2\right)

  = {- p_1 V_1 \over \kappa - 1} \left(1 - {T_2 \over T_1}\right)

</math>

<math>

= {- p_1 V_1 \over \kappa - 1} \left[ 1 - \left({V_1 \over V_2}\right)^{\kappa - 1} \right]
= - n C_{\mathrm{m},V} \left(T_1 - T_2\right)

</math>. Hierbei bezeichnen <math>T_1, V_1, p_1</math> die Anfangstemperaturen bzw. -volumina und -drücke und <math>T_2, V_2, p_2</math> die Endtemperaturen bzw. -volumina und -drücke und <math>C_{\mathrm{m},V}</math> die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen.

Daraus ergibt sich auch, dass die Arbeit des Prozesses mit höherer Temperaturdifferenz <math>T_1 - T_2</math> größer wird. Dies hat unter anderem den Temperaturgradienten der unteren Erdatmosphäre zur Folge.

Aus der Zustandsgleichung eines idealen Gases folgen diese Zusammenhänge :

<math>

p_1 V_1^{\kappa} = p_2 V_2^{\kappa} </math>

<math>

{T_1 \over T_2} = \left({V_2 \over V_1} \right)^{\kappa - 1} </math>

<math>

{T_1 \over T_2} = \left({p_1 \over p_2} \right)^{ \kappa -1 \over \kappa} </math>

Diese Gleichungen lassen sich so umformen, dass gilt:

<math>

p V^{\kappa} = \mathrm{const}_1\, </math>

<math>

T V^{\kappa - 1} = \mathrm{const}_2\, </math>

<math>

T^{\kappa} p^{1 - \kappa} = \mathrm{const}_3\,

</math>

Sie werden auch Poissonsche Gleichungen genannt. Die Gleichungen können in dieser Form allerdings nur für dimensionslose Größen verwendet werden, z. B., wenn sie auf die Größen im Normzustand bezogen sind.

Da auch die Masse des Gasvolumens konstant bleibt, ist auch die Umformung auf die Änderung der Dichte <math>\textstyle \rho</math> einfach berechenbar:

<math>

{\rho}_1 = {\rho}_2 \left( \frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}} </math>

Isentropengleichung

Die allgemeine Isentropengleichung für dimensionslose Größen (s. o.) lautet:

<math>p\cdot V^\kappa = \text{const}.\,,</math>

wobei <math>\kappa = \tfrac{C_p}{C_V} = \tfrac{f+2}{f}</math> gilt. Dabei ist <math>\tfrac{C_p}{C_V}</math> das Verhältnis der isobaren und der isochoren Wärmekapazität und f bezeichnet die Zahl der Freiheitsgrade des Gases. Für ein ideales einatomiges Gas ergibt sich mit <math>f = 3</math> und aus <math>C_p = \tfrac{5}{2} Nk</math> und <math>C_V = \tfrac{3}{2} Nk</math> für den Isentropenindex <math>\kappa = \tfrac{5}{3}</math>.

Im p-v-Diagramm (Beachte: spezifisches Volumen v, nicht Volumen V) wird eine Kurve, die die Bedingung <math> p\,V^\kappa=\mathrm{const.}</math> erfüllt, Adiabate genannt.

Siehe auch

• Adiabate Maschine
• Dissipation
• Carnot-Prozess
• Atmosphärischer Temperaturgradient (Feuchtadiabatischer Temperaturgradient und Trockenadiabatische Abkühlung)

Einzelnachweise

<references />

Weblinks

• Lern-Modul zu adiabatischen Prozessen in der Atmosphäre
• Rechenprogramm für reversible Zustandsänderungen des idealen Gases