Bézierkurve

Die Bézierkurve </math>

Quadratische Bézierkurven (n=2)

Eine quadratische Bézierkurve ist der Pfad, der durch die Funktion <math>C(t)</math> für die Punkte <math>P_0</math>, <math>P_1</math> und <math>P_2</math> verfolgt wird:

<math>\begin{align}

     C(t) \ & =\ \sum_{i=0}^2 \binom 2 i t^i (1-t)^{2-i} P_i \\
          \ & =\ (1 - t)^{2}P_0 + 2t(1 - t)P_1 + t^{2}P_2 \\
          \ & =\ (P_0 - 2P_1 + P_2)t^{2} + (-2P_0 + 2P_1)t + P_0 \mbox{ , } t \in [0,1]

\end{align}</math>

Mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ausgedrückt: <math>C(t)=C_{0}^{2}(t)</math>

<math>C_{0}^{2}(t)=(1-t)\underbrace{\Bigl[(1-t)\overbrace{P_{0}}^{C_{0}^{0}}+t\overbrace{P_{1}}^{C_{1}^{0}}\Bigr]}_{C_{0}^{1}(t)}+t\underbrace{\Bigl[(1-t)\overbrace{P_{1}}^{C_{1}^{0}}+t\overbrace{P_{2}}^{C_{2}^{0}}\Bigr]}_{C_{1}^{1}(t)}</math>

Die Strecken <math>C_{0}^{1}(t)</math> und <math>C_{1}^{1}(t)</math> sind die Kanten des Kontrollpolygons (graue Linien in nebenstehender Animation). Die Kurvenschar <math>\tilde{C}_{0}^{2}(\tilde{t},t)=(1-\tilde{t})C_{0}^{1}(t)+\tilde{t}C_{1}^{1}(t)</math> mit <math>\tilde{t}\in[0,1]</math> entspricht den grünen Linien in der Animation. Die Auswertung an den Stellen mit <math>\tilde{t}=t</math> gibt den Verlauf der Bézierkurve an: <math>C_{0}^{2}(t)=\tilde{C}_{0}^{2}(t,t)</math>.

Kubische Bézierkurven (n=3)

Kubische Bézierkurven sind in der Praxis von großer Bedeutung, da sowohl B-Spline-Kurven als auch NURBS stückweise in kubische Bézierkurven umgewandelt werden, um dann effizient mit dem De-Casteljau-Algorithmus gezeichnet zu werden. Selbiges gilt für hermitesche Splines, die in ihrer kubischen Form vor allem in der Computeranimation zur Interpolation zwischen Keyframes verwendet werden.

Vier Punkte (<math>P_0</math>, <math>P_1</math>, <math>P_2</math> und <math>P_3</math>) bestimmen eine kubische Bézierkurve. Die Kurve beginnt bei <math>P_0</math> und geht in Richtung <math>P_1</math> und dann aus Richtung <math>P_2</math> zu <math>P_3</math>. Im Allgemeinen geht die Kurve nicht durch <math>P_1</math> und <math>P_2</math> – diese Punkte dienen nur der Richtungsangabe, wobei <math>P_1</math> die Richtung bestimmt, in welche die Kurve in <math>P_0</math> geht. <math>P_2</math> legt die Richtung fest, aus welcher die Kurve zu <math>P_3</math> geht. Der Abstand zwischen <math>P_0</math> und <math>P_1</math> und der Abstand von <math>P_2</math> und <math>P_3</math> bestimmen, „wie weit“ sich die Kurve in Richtung der Kontrollpunkte <math>P_1</math> und <math>P_2</math> bewegt, bevor sie in Richtung <math>P_3</math> läuft.

<math>\begin{align}

  C(t) \ & = \ \sum_{i=0}^3 \binom 3 i t^i (1-t)^{3-i} P_i \\
         & = \ (1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3 \\
         & = \ (-P_0 + 3P_1 -3P_2 + P_3) t^3 + (3P_0 - 6P_1 + 3P_2) t^2 + (-3P_0 + 3P_1) t + P_0, t \in [0,1]

\end{align}</math>

Mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ausgedrückt: <math>C(t)=C_{0}^{3}(t)</math>

<math>\begin{align}

C_{0}^{3}(t)=(1-t) & \underbrace{\Bigl\{(1-t)\overbrace{\bigl[(1-t)P_{0}+tP_{1}\bigr]}^{C_{0}^{1}(t)}+t\overbrace{\bigl[(1-t)P_{1}+tP_{2}\bigr]}^{C_{1}^{1}(t)}\Bigr\}}_{C_{0}^{2}(t)}+\\ +t & \underbrace{\Bigl\{(1-t)\overbrace{\bigl[(1-t)P_{1}+tP_{2}\bigr]}^{C_{1}^{1}(t)}+t\overbrace{\bigl[(1-t)P_{2}+tP_{3}\bigr]}^{C_{2}^{1}(t)}\Bigr\}}_{C_{1}^{2}(t)} \end{align}</math>

Die Strecken <math>C_{0}^{1}(t)</math> und <math>C_{1}^{1}(t)</math> sowie <math>C_{2}^{1}(t)</math> sind die Kanten des Kontrollpolygons (graue Linien in nebenstehender Animation). Die beiden Kurvenscharen <math>\tilde{C}_{0}^{2}(\tilde{t},t)=(1-\tilde{t})C_{0}^{1}(t)+\tilde{t}C_{1}^{1}(t)</math> und <math>\tilde{C}_{1}^{2}(\tilde{t},t)=(1-\tilde{t})C_{1}^{1}(t)+\tilde{t}C_{2}^{1}(t)</math> mit <math>\tilde{t}\in[0,1]</math> entsprechen den grünen Linien in der Animation.

Die Kurvenschar <math>\tilde{C}_{0}^{3}(\tilde{t},t)=(1-\tilde{t})C_{0}^{2}(t)+\tilde{t}C_{1}^{2}(t)</math> mit <math>\tilde{t}\in[0,1]</math> entspricht den blauen Linien in der Animation. Die Auswertung an den Stellen mit <math>\tilde{t}=t</math> gibt den Verlauf der Bézierkurve an: <math>C_{0}^{3}(t)=\tilde{C}_{0}^{3}(t,t)</math>.

Kubische Darstellung quadratischer Bézierkurven

Wählt man die mittleren Bézierpunkte <math>P_1</math> und <math>P_2</math> einer kubischen Bézierkurve wie folgt

<math>P_{1}:=P_{0}+\frac{2}{3}(P_{12}-P_{0}) \,,\ P_{2}:=P_{3}+\frac{2}{3}(P_{12}-P_{3})</math>

erhält man eine Kurve, die exakt der quadratischen Bézierkurve mit den Punkten <math>P_0</math>, <math>P_{12}</math> und <math>P_3</math> entspricht:

<math>\begin{align}

C(t) & =(1-t)^{3}P_{0}+3t(1-t)^{2}\left(\frac{2}{3}P_{12}+\frac{1}{3}P_{0}\right)+3t^{2}(1-t)\left(\frac{2}{3}P_{12}+\frac{1}{3}P_{3}\right)+t^{3}P_{3}\\

& =(1-t)^{2}P_{0}+2t(1-t)P_{12}+t^{2}P_{3}

\end{align}</math>

Damit lassen sich auch dann quadratische Bézierkurven darstellen, falls ein Vektorzeichenprogramm (z. B. Inkscape) bzw. eine Grafikbibliothek (z. B. Cairo) nur kubische unterstützt.

Anwendung: Kreisapproximation durch kubische Bézierkurven

Kreise bzw. Kreisbögen lassen sich durch Bézierkurven nicht exakt, sondern nur genähert darstellen. Eine solche Näherung ist z. B. für die Gestaltung einer Typ-1-PostScript-Schrift nötig, da hier nur Strecken und Bézierkurven dritten Grades erlaubt sind. (Jedoch verläuft auch für größere <math>n</math> keine Bézierkurve <math>t\mapsto(x(t)|y(t))</math> <math>n</math>-ten Grades in einem noch so kleinen Kreisbogen mit Radius <math>r</math> zum Mittelpunkt <math>(z_1|z_2)</math>, denn <math>(x(t_0)|y(t_0))</math> liegt genau dann auf dem Kreisbogen, wenn <math>t_0</math> Nullstelle der Polynomfunktion <math>t \mapsto [x(t)-z_1]^2+[y(t)-z_2]^2-r^2</math> vom Grad <math>2n</math> ist, was höchstens <math>2n</math> Male vorkommt – vgl. Fehleranalyse.)

Teilt man einen Kreis in nur zwei (gleich große) Segmente und nähert die Halbkreise durch kubische Bézierkurven, zeigen sich größere Abweichung von der Kreisgestalt. Durch eine feinere Unterteilung in mehr Segmente lässt sich ein Kreis besser nähern. Je geringer der überstrichene Winkelbereich des Kreissegments ist, desto genauer ist die Näherung durch die Bézierkurve. Eine oft verwendete, einfache Realisierung eines Kreises verwendet vier Viertelkreisbögen, die als kubische Bézierkurven dargestellt werden. Um die Verbesserung der Näherung durch Verfeinerung der Unterteilung zu demonstrieren, werden in der Folge die Fehler der Halbkreisapproximation und der Viertelkreisapproximation miteinander verglichen.

Notation: Wir untersuchen Approximationen eines Kreises <math>Q</math> mit folgenden Parametern:

• <math>r</math> ist der Radius von <math>Q</math>
• <math>M</math> ist der Mittelpunkt von <math>Q</math>
• die Kontrollpunkte <math>P_0</math> und <math>P_3</math> liegen vom Mittelpunkt <math>M</math> im Abstand <math>r</math> entfernt (also auf der Kreislinie von <math>Q</math>)
• <math>\kappa</math> ist eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 (<math>\kappa=1</math> entspräche einer quadratischen Bézierapproximation).

Die zusätzlichen Kontrollpunkte <math>P_1</math> und <math>P_2</math> werden so gewählt, dass <math>P_1</math> zu <math>P_0</math> und <math>P_2</math> zu <math>P_3</math> den Abstand <math>\kappa r</math> hat.

Beispielkoordinaten Viertelkreis

Als einfaches Beispiel einer Viertelkreisapproximation wählen wir:

• den Mittelpunkt <math>M</math> des Kreises <math>Q</math> als <math>(0|0)</math>,
• den Kontrollpunkt <math>P_0</math> auf der Kreislinie als <math>(r|0)</math>,
• den Kontrollpunkt <math>P_3</math> auf der Kreislinie als <math>(0|r)</math> – die Strecke <math>MP_3</math> steht also senkrecht auf <math>MP_0</math>, so dass beide Strecken einen Viertelkreissektor bilden –,
• den Kontrollpunkt <math>P_1</math> als <math>P_0+\kappa(P_3-M) = (r|r\kappa)</math> (auf der Strecke <math>P_0(r|r)</math>),
• den Kontrollpunkt <math>P_2</math> als <math>P_3+\kappa(P_0-M) = (r\kappa|r)</math> (auf der Strecke <math>P_3(r|r)</math>).

Die vier Kontrollpunkte liegen also auf dem Rand des Quadrats mit den Eckpunkten <math>M=(0|0)</math>, <math>P_0=(r|0)</math>, <math>P_3=(0|r)</math> und <math>(r|r)</math>. Dies gewährleistet immerhin, dass die Näherungskurve und die Kreislinie in <math>P_0</math> und <math>P_3</math> dieselbe Tangente haben. So ist auch die aus den Viertelkreisapproximationen zusammengesetzte Kurve in den Knotenpunkten „glatt“.

Die kubische Bézierkurve <math>t\mapsto(x_\kappa(t)|y_\kappa(t))</math> (<math>t\in[0;1]</math>) hat mit diesen Kontrollpunkten folgende Form:

<math>x_\kappa(t)=(1-t)^{3}r+3t(1-t)^{2}r+3t^{2}(1-t)\kappa r \,,\quad y_\kappa(t)=t^{3}r+3t^{2}(1-t)r+3t(1-t)^{2}\kappa r</math>

Eine recht gute Approximation des oberen rechten Viertelkreisbogens erhält man mit <math>\kappa=0{,}552</math>, wie die nachfolgende Betrachtung zeigt.

Fehleranalyse

Die Abweichung der gerade angegebenen Bézierkurve <math>t \mapsto (x_\kappa(t)|y_\kappa(t))</math> vom darzustellenden Kreis <math>Q</math> lässt sich folgendermaßen quantifizieren:

Ein Punkt <math>(x_\kappa(t_0)|y_\kappa(t_0))</math> der Bézierkurve <math>(x_\kappa|y_\kappa)</math> liegt genau dann auf der vorgegebenen Kreislinie mit Radius <math>r</math> um den Mittelpunkt <math>M=(0|0)</math>, wenn <math>x_\kappa(t_0)^2 + y_\kappa(t_0)^2=r^2</math> („Koordinatengleichung“) gilt. Definiert man

<math>f_\kappa(t)=\frac{x_\kappa(t)^2+y_\kappa(t)^2-r^2}{r^2};\quad0\leq t\leq 1,</math>

so ist das äquivalent zu <math>f_\kappa(t_0)=0</math>. <math>f_\kappa(t)</math> ist ein Maß für die Abweichung der Approximation <math>(x_\kappa|y_\kappa)</math> von der Kreisgestalt.

Fordert man dann die Übereinstimmung der Bézierkurve <math>(x_\kappa|y_\kappa)</math> mit dem Kreis <math>Q</math> bei der Winkelhalbierenden, erhält man

<math>0=f_\kappa(0{,}5)=\frac{9\kappa^{2}+24\kappa-16}{32}\quad\Longrightarrow\quad\kappa=\frac{4}{3}(\sqrt{2}-1)\approx0{,}55228</math>

Der Fehler ist Null bei <math>t\in\left\lbrace0; 0{,}5; 1\right\rbrace</math>, sonst überall positiv, d. h. die Bézierkurve liegt stets auf oder außerhalb des Kreisbogens. Der maximale Fehler beträgt <math>f_\kappa(t)=5{,}45\cdot 10^{-4}</math> bei <math>t=0{,}211</math> und bei <math>t=0{,}789</math>.

Fordert man, dass die aufsummierten Fehler über die gesamte Kurve verschwinden (<math>f_\kappa(t)</math> kann sowohl positiv als auch negativ sein – die Bézierkurve verläuft teils außerhalb, teils innerhalb der Kreislinie – und das Integral darüber kann Null ergeben), erhält man

<math>0=\int_{0}^{1}f_\kappa(t)\,\mathrm{d}t=\frac{6\kappa^{2}+13\kappa-9}{35}\quad\Longrightarrow\quad\kappa=\frac{\sqrt{385}-13}{12}\approx0{,}55178</math>

Die größten Abweichungen liegen bei etwa <math>f_\kappa(0{,}5)=-5{,}3\cdot 10^{-4}</math> und bei <math>f_\kappa(0{,}173)=f_\kappa(0{,}827)=3{,}5\cdot 10^{-4}</math>. Beide Approximationen sind somit für viele Anwendungsbereiche ausreichend.

Beispielkoordinaten Halbkreis

Bei einer Halbkreisnäherung mit <math>M=(0|0)</math>, <math>P_0=(0|-r)</math>, <math>P_3=(0|r)</math>, und <math>P_1=(\kappa r|-r)</math>, <math>P_2=(\kappa r|r)</math> mit <math>\kappa=1{,}3156</math> beträgt die maximale Abweichung <math>f_\kappa(t)=2{,}65\%</math>. Dies ist bzgl. der maximalen Abweichung etwa 50 mal schlechter als die Viertelkreisapproximation.

Gebrochenrationale Bézierkurve

Gebrochenrationale Bézierkurven können vereinfacht als Bézierkurven betrachtet werden, deren Kontrollpunkte <math>P_i</math> mit Gewichten/Anziehungskräften <math>w_i</math> versehen sind und die damit den Kurvenverlauf in ihre Richtung hin beeinflussen.

Dazu stellt man die Bézierkurve mittels homogener Koordinaten <math>\overline{P}_i = w_i \bigl(\begin{smallmatrix} P_i\\ 1 \end{smallmatrix} \bigr)</math> im projektiven Raum dar.

<math>\overline{C}(t) \ = \ \sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) \overline{P}_i \ = \ \begin{pmatrix}

 \sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) w_i P_i \\
 \sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) w_i

\end{pmatrix} </math>

Die Bezeichnung als gebrochenrationale Bézierkurven ergibt sich aus der Rücktransformation (Dehomogenisierung oder Projektion) in den Ursprungsraum, was praktisch durch das Teilen der zusätzlichen Komponente erfolgt.

<math>C(t) \ = \ \frac{\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) w_i P_i}{\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) w_i}</math>

Genese

Nach der Transformation in den projektiven Raum wird die Kurve nach dem normalen Bildungsgesetz erzeugt und anschließend wieder in den Ursprungsraum zurück transformiert.

Projektiver Raum und homogene Koordinaten

Die Transformation der Kontrollpunkte in den projektiven Raum mittels ihrer Gewichte verändert im Allgemeinen (also wenn nicht alle Gewichte gleich 1 sind) die Lage der Kontrollpunkte zueinander, verzerrt also das Kontrollpolygon. Diese Verzerrung wirkt sich nun so aus, dass die Kurve sich in der zurücktransformierten Darstellung den Punkten mit höherer Gewichtung stärker nähert.

Veranschaulichen kann man sich dies, indem man zunächst eine 2-dimensionale Bézierkurve im 3-dimensionalen Raum (projektiver Raum) in der <math>z = 1</math> Ebene (Ursprungsraum) zeichnet. Wobei die <math>z</math>-Komponente die zusätzliche homogene Komponente darstellen soll.

<math>\overline{P}_i = w_i \bigl(\begin{smallmatrix} \bigl(\begin{smallmatrix} x\\ y \end{smallmatrix} \bigr) = P_i\\ z = 1 \end{smallmatrix} \bigr)</math>

Demnach sind die Gewichte <math>w_i = 1</math> zu setzen. Fasst man die homogenen Kontrollpunkte <math>\overline{P}_i</math> als Ortsvektoren des projektiven Raums auf, so entfernen sich diese mit zunehmenden Gewichten <math>w_i > 1</math> vom Ursprung. Die Bézierkurve verlässt also die <math>z = 1</math> Ebene und wird 3-dimensional. Eine Rücktransformation auf die Projektionsebene <math>z = 1</math> führt zu einer, zu den stärker gewichteten Kontrollpunkten hingezogenen, rationalen Bézierkurve.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Bézier Curve. In: MathWorld (englisch).

Vier Stützpunkte

• Mehrere Java-Applets mit Erläuterungen
• Java-Applet

Mehr als vier Stützpunkte

• TinySpline: Open Source C-Programmbibliothek für NURBS, B-Splines und Bezier Splines mit Bindings für verschiedene Sprachen

Literatur

• Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD. A practical guide. 5. Aufl. Academic Press, San Diego 2002, ISBN 1-55860-737-4
• David Salomon: Curves and Surfaces for Computer Graphics. Springer Science+Business Media, Inc., 2006, ISBN 0-387-24196-5
• Boaswan Dzung Wong: Bézierkurven: gezeichnet und gerechnet. Orell Füssli Verlag, Zürich 2003, ISBN 3-280-04021-3
• Wolfgang Boehm, Gerald Farin, Jürgen Kahmann: A survey of curve and surface methods in CAGD, Comput. Aided Geom. Des. 1, S. 1-60, 1984