Beleuchtungsstärke

Die Beleuchtungsstärke E_v (englisch illuminance) auf einer Fläche gibt an, welcher Lichtstrom auf eine Flächeneinheit fällt. Eine weitere Bezeichnung ist also Lichtstromdichte.

Der Lichtstrom wird in Lumen (lm) und die Fläche in Quadratmetern (m²) gemessen, die SI-Einheit der Beleuchtungsstärke ist also Lumen durch Quadratmeter (lm/m²) oder gleichbedeutend Lux (lx, von lateinisch lux, Licht).

Definition

Die Beleuchtungsstärke auf einer Fläche ist die Flächendichte des einfallenden Lichtstroms. Sie kann im Allgemeinen von Punkt zu Punkt der beleuchteten Fläche verschieden sein. Sei daher <math>\mathrm{d}\Phi_\mathrm{v}</math> der differentielle („unendlich kleine“) Lichtstrom, der auf die differentielle Fläche <math>\mathrm{d}A</math> trifft, dann ist die Lichtstärke <math>E_\mathrm{v}</math> auf dem „Punkt“ <math>\mathrm{d}A</math> der Quotient aus den beiden differentiellen Größen:<ref name="DIN5031-3" /><ref name="IEC_845-01-38" />

<math>E_\mathrm{v} \, = \, \frac{\mathrm{d}\Phi_\mathrm{v}}{\mathrm{d}A}</math>

Falls die Beleuchtungsstärke über eine endlich große Fläche <math>A</math> hinweg konstant ist, erübrigt sich die Verwendung differentieller Größen und die differentielle Definition geht über in folgende vereinfachte Definition: Die auf der Fläche <math>A</math> konstante Beleuchtungsstärke ist der Quotient aus dem auf die Fläche <math>A</math> auftreffenden Lichtstrom <math>\Phi_\mathrm{v}</math> und der beleuchteten Fläche <math>A</math>:<ref name="DIN5031-3" />

<math>E_\mathrm{v} \, = \, \frac{\Phi_\mathrm{v}}{A}</math>

Falls die Beleuchtungsstärke auf der betrachteten Fläche nicht konstant ist, kann die vereinfachte Definition dennoch verwendet werden. Das Ergebnis der Quotientenbildung ist dann der über die betreffende Fläche gebildete arithmetische Mittelwert der auf der Fläche herrschenden Beleuchtungsstärke.<ref name="DIN5031-3" />

Die Beleuchtungsstärke ist die photometrische Entsprechung zur radiometrischen Größe Bestrahlungsstärke E_e (gemessen in Watt durch Quadratmeter, W/m²). Fällt elektromagnetische Strahlung auf die Empfangsfläche und erzeugt dort die Bestrahlungsstärke E_e, so lässt sich messtechnisch oder rechnerisch die von dieser Strahlung verursachte Beleuchtungsstärke in Lux ermitteln, indem die einzelnen Wellenlängen der Strahlung mit der jeweiligen Empfindlichkeit des Auges bei der betreffenden Wellenlänge gewichtet werden.

Die Beleuchtungsstärke beschreibt die Flächendichte des auf eine Empfangsfläche fallenden Lichtstroms. Die analoge „senderseitige“ Größe, welche die Flächendichte des von einer Leuchtfläche ausgesandten Lichtstroms beschreibt, ist die spezifische Lichtausstrahlung <math>M_\mathrm{v}</math>.

Photometrisches Entfernungsgesetz

Gegeben sei eine senkrecht zur Beleuchtungsrichtung stehende Fläche <math>A</math>. Befindet sie sich in der Entfernung <math>r</math> von der Lichtquelle, so spannt sie von dieser aus gesehen den Raumwinkel <math>\textstyle \Omega \, = \, \frac{A}{r^2}</math> auf. Die Beleuchtungsstärke <math>E_\mathrm{v}</math> auf dieser Fläche ist der Quotient aus dem auf die Fläche auftreffenden Lichtstrom <math>\Phi_\mathrm{v}</math> und der Fläche <math>A</math>. Der auf die Fläche fallende Lichtstrom lässt sich ausdrücken als das Produkt der von der Lichtquelle in Richtung der betrachteten Fläche ausgesandten Lichtstärke <math>I_\mathrm{v}</math> und dem von der Fläche aufgespannten Raumwinkel <math>\Omega</math>. Berücksichtigt man noch den aus der Definition des Raumwinkels folgenden Zusammenhang <math>\Omega / A \, = \, 1 / r^2</math>, so erhält man insgesamt:

<math>E_\mathrm{v} \, = \, \frac{\Phi_\mathrm{v}}{A} \, = \, \frac{I_\mathrm{v} \cdot \Omega}{A} \, = \, \frac{I_\mathrm{v}}{r^2}</math>

Berücksichtigt man noch die Möglichkeit, dass die Empfangsfläche um den Winkel <math>\varepsilon</math> gegen die Einstrahlrichtung geneigt ist,<ref group="Anm."><math>\varepsilon</math> ist der Winkel zwischen der Flächennormalen und der Strahlungsrichtung</ref> so erhält man das photometrische Entfernungsgesetz:<ref name="DIN5031-3" />

<math>E_\mathrm{v} \, = \, \frac{I_\mathrm{v}}{r^2} \cdot \cos(\varepsilon)</math>

Wie zu erkennen ist, nimmt die von der Lichtquelle auf der Fläche erzeugte Beleuchtungsstärke mit dem Quadrat des Abstands ab, obwohl die von der Quelle in Richtung der Fläche ausgesandte Lichtstärke entfernungsunabhängig ist (zur Erläuterung siehe den Artikel →Lichtstärke).

Diese Formel gilt nur für punktförmige Lichtquellen oder für hinreichend große Abstände. Andernfalls könnte ein Punkt der Empfangsfläche von Lichtstrahlen getroffen werden, die von verschiedenen Punkten der ausgedehnten Lichtquelle ausgehen und gegen denselben Punkt der Empfangsfläche konvergieren. Diese Lichtstrahlen wären nicht streng parallel und würden die Voraussetzung verletzen, dass die zu <math>I_\mathrm{v}</math> beitragenden Lichtstrahlen in dieselbe Richtung ausgesandt wurden, also untereinander parallel sind. Darüber hinaus darf der Einfallswinkel <math>\varepsilon</math> nicht zu stark über <math>A</math> variieren.

Die Messung der Lichtstärke einer Quelle wird stets auf eine Messung der im Abstand <math>r</math> erzeugten Beleuchtungsstärke zurückgeführt. Um die erwähnten Komplikationen nicht rechnerisch berücksichtigen zu müssen<ref group="Anm.">Dies geschähe durch Integration über Sender- und Empfangsfläche unter Anwendung des photometrischen Grundgesetzes.</ref> und die obige einfache Formel verwenden zu können, wird die Messung in der Praxis in möglichst großem Abstand durchgeführt. Der Abstand, ab dem der Fehler bei Anwendung dieser Formel unter ein vorgegebenes Maß sinkt, heißt photometrische Grenzentfernung.

Das photometrische Entfernungsgesetz liefert die Merkregel: Sendet eine Lichtquelle Licht der Lichtstärke 1 Candela in Richtung einer Empfangsfläche, welche in 1 Meter Entfernung senkrecht zur Strahlrichtung steht, so erzeugt sie dort die Beleuchtungsstärke 1 Lux. Wie soeben erläutert, gilt diese Regel aber nur für Lichtquellen, die klein genug sind, so dass 1 Meter bereits außerhalb ihrer photometrischen Grenzentfernung liegt. In der Beleuchtungspraxis sind jedoch meist flächenhafte Lichtquellen anzutreffen, für welche die einfache Regel nicht mehr gültig ist. Hier müssen aufwändigere, vom photometrischen Grundgesetz ausgehende oder mit Sichtfaktoren arbeitende Rechenverfahren benutzt werden, welche über die von der Leuchtfläche ausgehende und die auf der Empfangsfläche eintreffende Leuchtdichteverteilung integrieren.

Die obige Herleitung des photometrischen Entfernungsgesetzes wurde der Kürze halber mit nicht-differentiellen Größen durchgeführt, also unter der Annahme, dass die Beleuchtungsstärke auf der ganzen betrachteten Fläche konstant sei. Die exakte differentielle Formel für variablen Lichtstrom liefert dasselbe Ergebnis, das dann aber nur für einen Punkt der Fläche gilt:

<math>E_\mathrm{v} \, = \, \frac{\mathrm{d}\Phi_{\mathrm{v}}}{\mathrm{d}A} \, = \, \frac{I_\mathrm{v} \ \mathrm{d}\Omega}{\mathrm{d}A} \, = \, \frac{I_\mathrm{v}}{r^2}</math>

Ergänzung um den Cosinus des Einfallswinkels (sofern nötig) ergibt wieder die obige Formel.

Rechenbeispiele

Beispiel 1 zeigt die Anwendung des photometrischen Entfernungsgesetzes. Beispiel 2 behandelt exemplarisch einen etwas komplexeren Fall mit nicht-punktförmiger Lichtquelle.

Beispiel 1

An der Decke befinde sich eine kleine, praktisch punktförmige Lichtquelle Q, die den Lichtstrom Φ_v = 628 Lumen in den von ihr überblickten unteren Halbraum (Ω = 2π Steradiant) abgibt. Ihre Lichtstärke I_v sei in allen Richtungen des beleuchteten Halbraums dieselbe. Welche Beleuchtungsstärken erzeugt sie auf der r = 2 m tiefer liegenden Tischplatte

• in Punkt A, der senkrecht unter der Lichtquelle liegt und
• in Punkt B, welcher ebenfalls auf der Tischplatte, aber d = 2 m neben Punkt A liegt?

Da die Lichtstärke in allen Richtungen des beleuchteten Halbraums dieselbe ist, kann zu ihrer Berechnung die vereinfachte Formel verwendet werden:

<math>I_\mathrm{v}\, = \, \frac{\Phi_\mathrm{v}}{\Omega} \, = \, \frac{628 \ \mathrm{Lumen}}{2\,\pi \ \mathrm{Steradiant}} \, = \, 100 \ \mathrm{Candela}</math>.

Da die Lichtquelle als punktförmig vorausgesetzt ist, kann zur Berechnung der Beleuchtungsstärke das photometrische Entfernungsgesetz angewendet werden. Für Punkt A ist die Entfernung r = 2 m und der Einfallswinkel ε = 0°, also

<math>E_\mathrm{v}(A) \, = \, \frac{100}{2^2} \cdot \, \cos(0^\circ) \ \mathrm{lx} \, = \, 25 \ \mathrm{lx}</math>.

Für Punkt B folgen aus dem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck QAB:

<math>r' \, = \, \sqrt{r^2 + d^2} \, = \, \sqrt{2^2 + 2^2} \ \mathrm{m} \, = \, \sqrt{8} \ \mathrm{m} \, = \, 2{,}83 \ \mathrm{m}</math>

sowie

<math>\varepsilon' \, = \, 90^\circ - \arctan\left( \frac{r}{d} \right) \, = \, 45^\circ</math>

und damit

<math>E_\mathrm{v}(B) \, = \, \frac{100}{(\sqrt{8})^2} \cdot \cos(45^\circ) \ \mathrm{lx} \, = \, 8{,}84 \ \mathrm{lx}</math>.

Beispiel 2

Die punktförmige Lichtquelle werde nun durch eine flächenhafte ersetzt. Diese sei eine gleichförmig leuchtende Kreisscheibe mit Radius R = 0,5 m und Lambertscher (d.h. diffuser) Leuchtcharakteristik. Ihre Lichtstärke in senkrechter Richtung nach Punkt A betrage wie bei der Lichtquelle im ersten Beispiel 100 cd. Wie groß ist jetzt die Beleuchtungsstärke auf Punkt A?

Da diese Lichtquelle nicht punktförmig ist, kann das photometrische Entfernungsgesetz hier nicht verwendet werden. Stattdessen soll die Berechnung mit Hilfe von Sichtfaktoren durchgeführt werden, was aufgrund der diffusen Leuchtcharakteristik möglich ist. Der zwei Flächen 1 und 2 zugeordnete Sichtfaktor F₁₂ gibt an, welcher Bruchteil des von Fläche 1 insgesamt diffus ausgesandten Lichts direkt auf Fläche 2 trifft. Im vorliegenden Fall ist die Empfängerfläche eine differentielle Fläche dA₂ (es wird nach der Beleuchtungsstärke an einem Punkt gefragt, nicht nach dem auf eine endliche Fläche treffenden Lichtstrom), entsprechend ist ein differentieller Sichtfaktor zu verwenden.

Gibt eine endliche Senderfläche A₂ den Lichtstrom Φ_v2 ab und fällt davon auf die differentielle Empfangsfläche dA₁ der Lichtstrom dΦ_v1 = E_v · dA₁, so ist das Verhältnis von E_v · dA₁ zu Φ_v2 gegeben durch den differentiellen Sichtfaktor dF_{2 d1}

<math>\frac{E_\mathrm{v} \cdot \mathrm{d}A_1}{\Phi_\mathrm{v2}} \, = \, \mathrm{d}F_\mathrm{2 \, d1} </math>

und es folgt bei Kenntnis von dF_{2 d1} sofort

<math>E_\mathrm{v} \, = \, \frac{\Phi_\mathrm{v2} \cdot \mathrm{d}F_\mathrm{2 \, d1} }{ \mathrm{d}A_1 }</math>.

Einer Sichtfaktortabelle<ref name="Howell_B-12"/> entnimmt man für die Beleuchtungssituation von Punkt A (Lichtaustausch zwischen Kreisscheibe und differentieller Fläche) den Sichtfaktor, welcher für die Leuchtrichtung von dA₁ auf A₂ lautet:

<math>F_\mathrm{d1 \, 2} \, = \, \frac{1}{ \left( \left( \frac{r}{R} \right)^2 +1 \right) }</math>.

Gesucht ist allerdings der Sichtfaktor für die umgekehrte Leuchtrichtung, von A₂ auf dA₁. Anwendung der Reziprozitätsbeziehung

<math>A_2 \cdot \mathrm{d}F_{2\,d1} \,=\, \mathrm{d}A_1 \cdot F_{d1\,2}</math>

liefert:

<math>E_\mathrm{v} \, = \, \frac{ \Phi_\mathrm{v2} \cdot \mathrm{d}F_\mathrm{2 \, d1} }{ \mathrm{d}A_1 } \, = \, \frac{ \Phi_\mathrm{v2} \cdot F_\mathrm{d1 \, 2} }{ \mathrm{d}A_1 } \cdot \frac{\mathrm{d}A_1}{A_2} \, = \, \frac{ \Phi_\mathrm{v2} \cdot F_\mathrm{d1 \, 2} }{ A_2 } \, = \, \frac{\Phi_\mathrm{v2}}{ \left( \left( \frac{r}{R} \right)^2 +1 \right) \cdot A_2 }</math>

Im vorliegenden Fall ist A₂ die Lichtquelle Q mit der Fläche A₂ = π R². Es bleibt der von Q erzeugte Lichtstrom Φ_v2 aus der vorgegebenen Lichtstärke zu bestimmen. Da die Fläche einheitlich leuchtet, ist der Lichtstrom gleich dem Produkt aus der überall konstanten spezifischen Lichtausstrahlung M_v und der abstrahlenden Fläche πR². Aufgrund der Lambert-Charakteristik ist die spezifische Lichtausstrahlung das π-fache der Leuchtdichte L_v. Da die Leuchtfläche eben ist und konstante Leuchtdichte aufweist, ist die Leuchtdichte der Quotient aus der Lichtstärke in senkrechter Richtung I_v und der Leuchtfläche πR²:

<math>\Phi_\mathrm{v2} \, = \, M_\mathrm{v} \cdot \pi R^2 \, = \, \pi \, L_\mathrm{v} \cdot \pi R^2 \, = \, \pi \frac{I_\mathrm{v}}{\pi R^2} \cdot \pi R^2 \, = \, \pi \cdot I_\mathrm{v}</math>

Einsetzen liefert

<math>E_\mathrm{v} \, = \, \frac{ \pi \ I_\mathrm{v}}{ \left( \left( \frac{r}{R} \right)^2 +1 \right) \cdot \pi \, R^2} \, = \, \frac{ I_\mathrm{v} }{ r^2 + R^2 } </math>

Mit den Zahlenwerten I_v = 100 cd, r = 2 m, R = 0,5 m folgt

<math>E_\mathrm{v} \, = \, \frac{100}{2^2 + 0,5^2} \, = \, 23,5 \ \mathrm{lx}</math>.

Lässt man die Flächenquelle auf Punktgröße zusammenschrumpfen (R → 0), so ergibt sich wieder das photometrische Entfernungsgesetz für punktförmige Quellen und senkrechten Einfall.

Soll auch die Empfangsfläche als endlich große Fläche angesetzt werden (z.B. die Messfläche eines Luxmeters), so ist der dieser Situation entsprechende Sichtfaktor zu verwenden.

Geschieht der Lichtaustausch zwischen nicht-gleichmäßig leuchtenden oder nicht-diffusen Flächen, so können auch keine Sichtfaktoren verwendet werden. Es ist dann die Leuchtdichteverteilung auf der Sendefläche zu bestimmen und das photometrische Grundgesetz über Sende- und Empfangsfläche zu integrieren.

Beispiele natürlicher Beleuchtungsstärken

Durch natürliche Lichtquellen erzeugte typische Beleuchtungsstärken auf dem Erdboden:

Normativ geforderte Beleuchtungsstärken

Soll-Beleuchtungsstärken:

• Fluchtwege: minimale Beleuchtungsstärke mindestens ein Lux<ref> Zumtobel: Normen für die Sicherheitsbeleuchtung, Seite 8, 11 (PDF; 2,0 MB)</ref>
• Arbeitsstätten Innen: mindestens mittlere Beleuchtungsstärke von 100 Lux<ref> nach DIN EN 12464-1</ref>
• Allgemeinbeleuchtung in Arbeitsräumen: mindestens 100 Lux<ref> Arbeitsinspektorat, Beleuchtung von Arbeitsräumen</ref>, wobei die notwendige Arbeitsplatzbeleuchtung von der jeweiligen Sehaufgabe abhängig ist:
  • ständig belegter Arbeitsplatz: mindestens 300 Lux
  • Bildschirmarbeitsplatz in Tischhöhe: mindestens 500 Lux<ref>Universität Duisburg-Essen: Merkblatt für Bildschirmarbeitsplätze (MS Word; 185 kB), Seite 5</ref>.

Zum Vergleich: trüber Wintertag: 2000 bis 4000 Lux.

• Arbeitsstätten Außen: mindestens 5 Lux<ref> nach DIN EN 12464-2</ref>
• Verkehrswege: mindestens 7,5 Lux<ref> Beleuchtung von Straßen, Wegen und Plätzen nach DIN EN 13 201 (PDF; 1,8 MB), Hrsg: Trilux</ref>

Übersicht über grundlegende Lichtgrößen

Siehe auch

• Helligkeit
• Licht
• Lichtstärke (Fotografie)
• Luminanz (Leuchtdichte bei Monitoren)

Literatur

• Hans R. Ris: Beleuchtungstechnik für Praktiker. 2. Auflage, VDE-Verlag GmbH, Berlin-Offenbach, 1997, ISBN 3-8007-2163-5
• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4

Anmerkungen

<references group="Anm." />

Einzelnachweise

<references>

<ref name="DIN5031-3"> DIN 5031 Strahlungsphysik im optischen Bereich und Lichttechnik, Teil 3: Größen, Formelzeichen und Einheiten der Lichttechnik. Beuth, Berlin 1982 </ref>

<ref name="DIN5034-2"> DIN 5034 Tageslicht in Innenräumen, Teil 2: Grundlagen. Beuth, Berlin 1985 </ref>

<ref name="ESAA_S493"> P.K. Seidelmann (Hrsg.): Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. University Science Books, Mill Valley 1992, ISBN 0-935702-68-7, S. 493 </ref>

<ref name="Howell_B-12"> z.B.: J.R. Howell: A Catalog of Radiation Heat Transfer Configuration Factors.: B-12: Planar element dA1 to circular disk A2 in parallel plane. Normal to element passes through center of disk (abgerufen am 10. Februar 2015) </ref>

<ref name="IEC_845-01-38"> International Electrotechnical Commission (IEC): International Electrotechnical Vocabulary, ref. 845-01-38, Illuminance (abgerufen am 7. Februar 2015) </ref>

</references>