Charakteristische Funktion (Mathematik)


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Die charakteristische Funktion (auch Indikatorfunktion genannt) ist eine Funktion in der Mathematik, die sich dadurch auszeichnet, dass sie nur ein oder zwei Funktionswerte annimmt. Sie ermöglicht es, komplizierte Mengen mathematisch präzise zu fassen und auf ihnen Funktionen wie zum Beispiel die Dirichlet-Funktion zu definieren.

Definition

Datei:Indicator function illustration.png
zweidimensionale Indikatorfunktion einer Untermenge eines Quadrates

In der Literatur finden sich mehrere Schreibweisen für die charakteristische Funktion. Neben der hier verwendeten mittels <math> \chi_T </math> sind ebenfalls die Schreibweisen <math>\xi_T</math> und <math>\mathbf{1}_T</math> gebräuchlich.<ref> Die Bezeichnung <math>\mathrm{1}_T</math> wird aber auch für die Identitätsrelation bzw. -abbildung verwendet und kann daher leicht zu Verwechselungen führen.</ref>

Reellwertige charakteristische Funktion

Gegeben sei eine Grundmenge <math> X </math> und eine Teilmenge <math> T \subset X </math>. Die Funktion <math> \chi_T \colon X \to \{0,1\} </math> definiert durch

<math> \chi_T (x)=

\begin{cases} 

 1, & \text{falls } x \in T,\\
 0  & \text{falls } x \notin T

\end{cases} </math>

heißt dann die charakteristische Funktion oder Indikatorfunktion der Menge <math> T </math>. Die Zuordnung <math>\mathcal P(X) \to 2^X,\, T\mapsto \mathrm \chi_T,</math> liefert eine Bijektion zwischen der Potenzmenge <math>\mathcal P(X)</math> und der Menge aller Funktionen von <math>X</math> in die Menge <math>\{0, 1\}.</math>

Erweiterte charakteristische Funktion

In der Optimierung wird die charakteristische Funktion teils als erweiterte Funktion definiert. Hier heißt dann die Funktion <math> \chi_T \colon X \to \{0, + \infty\} </math> definiert durch

<math> \chi_T (x)=

\begin{cases} 

 0, & \text{falls } x \in T,\\
 + \infty & \text{falls } x \notin T

\end{cases} </math> die charakteristische Funktion oder Indikatorfunktion der Menge <math> T </math>. Sie ist eine echte Funktion wenn <math> T </math> nicht leer ist.

Partielle charakteristische Funktion

Bei der Bildung der partiellen charakteristischen Funktion wird die Definitionsmenge auf <math>T</math> eingeschränkt; im Sinne von partiellen Funktionen kann man sie also wie folgt beschreiben:

<math>

\chi_T'\colon X \rightsquigarrow \{0,1\},\; x\mapsto \begin{cases} 

 1, & \text{falls } x \in T,\\
 \text{undefiniert}, & \text{sonst}.

\end{cases} </math>

Verwendung der unterschiedlichen Definitionen

Die reellwertige charakteristische Funktion wird häufig in der Integrationstheorie und in der Stochastik verwendet, da sie es ermöglicht, anstelle der Funktion <math> f </math> über die Menge <math> T </math> zu integrieren die Funktion <math> f \cdot \chi_T </math> über die Grundmenge zu Integrieren. Dies erspart oft die Verwendung von Fallunterscheidungen. Ein Beispiel dieser Anwendung ist einen Abschnitt weiter unten Angegeben.

Die erweiterte charakteristische Funktion wird in der Optimierung verwendet, um Funktion auf Teilbereiche einzuschränken, auf denen sie gewisse gewünschte Eigenschaften wie z.B. konvexität besitzen oder um Restriktionsmengen zu modellieren.

Die partielle charakteristische Funktion findet Verwendung in der Berechenbarkeitstheorie.

Verwendung zur Berechnung von Erwartungswert, Varianz und Kovarianz

Für einen gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum <math>\textstyle (\Omega, \mathcal F, \mathrm P)</math> und <math>A \in \mathcal F</math> ist die Indikatorfunktion <math>\chi_A\colon \Omega \rightarrow \Bbb{R},</math> welche definiert ist durch <math>\chi_A (\omega) = 1,</math> wenn <math> \omega \in A,</math> und ansonsten ist <math>\chi_A (\omega) = 0,</math> eine Zufallsvariable. Für sie gilt:

Erwartungswert: <math>\operatorname{E}(\chi_A) = \operatorname{P}(A)</math>
Varianz: <math>\operatorname{Var}(\chi_A) = \operatorname{P}(A)(1 - \operatorname{P}(A))^2 + (1 - \operatorname{P}(A))(0 - \operatorname{P}(A))^2 = \operatorname{P}(A)(1 - \operatorname{P}(A))</math>
Kovarianz: <math>\operatorname{Cov}(\chi_A, \chi_B) = \operatorname{P}(A \cap B) - \operatorname{P}(A)\operatorname{P}(B)</math>

Man sieht: Die Varianz von <math>\chi_A</math> ist maximal <math>\tfrac{1}{4}</math> im Fall <math>P(A) = \tfrac{1}{2}</math> und zwei Indikatorvariablen sind genau dann unkorreliert, wenn die zugehörigen Ereignisse stochastisch unabhängig sind.

Siehe auch

Literatur

Anmerkungen

<references />