Dirichletsche η-Funktion

In der analytischen Zahlentheorie ist die dirichletsche η-Funktion eine spezielle Funktion, die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805–1859) benannt ist. Sie ist verwandt mit der riemannschen <math>\zeta</math>-Funktion.

Sie wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben eta (<math>\eta</math>) notiert; die dedekindsche η-Funktion, eine Modulform, wird ebenfalls so bezeichnet.

Definition

Die dirichletsche <math>\eta</math>-Funktion ist für alle komplexen <math> s </math> mit Realteil größer als 0 definiert über die Dirichletreihe:

<math> \eta(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} = 1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} - + \cdots. </math>

Obwohl die Gültigkeit dieses Ausdrucks auf komplexe Zahlen mit positivem Realteil beschränkt ist, bildet er die Ausgangsbasis für alle Darstellungen der <math> \eta </math>-Funktion. Sie kann auf die ganze komplexe Zahlenebene analytisch fortgesetzt werden, was eine Berechnung der <math> \eta </math>-Funktion für alle beliebigen <math> s </math> gewährleistet.

Euler-Produkt

Ihre zahlentheoretische Bedeutung erhält die <math> \eta </math>-Funktion durch ihre Verbindung zu den Primzahlen, die sich für <math> \mathrm{Re} s > 1 </math> formelhaft durch das Euler-Produkt

<math> \eta(s) = \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) \prod_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^s}} = \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) \cdot \frac{1}{(1-\frac{1}{2^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{5^s})\cdots} </math>

ausdrücken lässt.

Funktionalgleichung

In ganz <math>\mathbb{C} </math> gilt die Identität:

<math>\eta(1-s) = \frac{2^s - 1}{1 - 2^{s-1}} \pi^{-s} \cos\left(\frac{\pi s}2\right) \Gamma(s)\eta(s).</math>

Verbindung zur Riemannschen ζ-Funktion

Die Funktionalgleichung zwischen Dirichletscher <math> \eta </math> und Riemannscher <math> \zeta </math>-Funktion lässt sich aus den Dirichletreihendarstellungen beider Funktionen gewinnen. Der <math> \eta </math>-Ausdruck wird durch Addition weiterer Dirichletreihen transformiert zu:

<math> \eta(s) + 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^s} = \eta(s) + \frac{2}{2^s} \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \zeta(s). </math>

Wir folgern den Zusammenhang:

<math> \eta(s) = (1 - 2^{1-s}) \cdot \zeta(s), </math>

der in ganz <math> \mathbb{C} </math> Gültigkeit behält.

Weitere Darstellungen

Integraldarstellung

Eine Integraldarstellung für alle <math> \mathrm{Re}\,s > 0 </math> enthält die Gammafunktion <math>\Gamma(s)</math> und lautet:

<math>\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int\limits_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1}{\mathrm dx}.</math>

Gültig für alle <math> s \in \mathbb{C} </math> ist:

<math> \eta(s) = \frac{2^{s-1} - 1}{s-1} - (2^s - 2) \int \limits_0^\infty \frac{\sin(s \arctan x)}{(1 + x^2)^{s/2} (e^{\pi x} + 1)} \mathrm{d}x. </math>

Reihendarstellung

Eine in ganz <math> \mathbb{C} </math> konvergente Reihe ist gegeben durch:

<math>\eta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n \choose k} \frac {1}{(k+1)^s}.</math>

Produktdarstellung

Für alle <math> s \in \mathbb{C}</math> konvergiert das Hadamard-Produkt<ref> André Voros: More Zeta Functions for the Riemann Zeros (PDF; 182 kB), CEA, Service de Physique Théorique de Saclay (CNRS URA 2306), Seite 6. </ref>, benannt nach seinem Entdecker Jacques Hadamard:

<math> \eta(s) = \frac{1 - 2^{1-s}}{2(s-1)\,\Gamma(1 + s/2)} e^{(\ln (2\pi) - 1 - \gamma/2)s} \prod_{\rho} \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)e^{s/\rho}. </math>

Es erstreckt sich über alle nicht-trivialen Nullstellen <math> \rho </math> der <math> \eta </math>-Funktion und leitet sich einfach aus dem Hadamard-Produkt der Zeta-Funktion ab.

Werte

Es gilt:

<math>\eta(0) = \tfrac12</math>

<math>\eta(-1)=\tfrac14.</math>

Für natürliche <math>k</math> gilt mit den Bernoulli-Zahlen <math>B_k</math>

<math>\eta(1-k) = \frac{2^k-1}{k} B_k.</math>

Für gerade Argumente <math> 2n = 2,4,6,8, ... </math> gilt die allgemeine Formel:

<math>\eta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{2^{2n-1} - 1}{(2n)!} B_{2n}\pi^{2n}.</math>

Somit lässt sich der Zahlenwert von <math> \eta(2n) </math> stets in der Form

<math> \eta(2n) = \frac{p_n}{q_n} \pi^{2n} </math>

schreiben, wobei <math> p_n </math> und <math> q_n </math> zwei positive ganze Zahlen bezeichnen.

Die ersten Werte für ungerade Argumente sind

<math>\ \eta(1) = \ln2 </math> (die alternierende harmonische Reihe)

<math>\eta(3)=\frac34\zeta(3)</math>

<math>\eta(5)=\frac{15}{16}\zeta(5).</math>

Nullstellen

Aus der Relation

<math>\eta(s) = (1-2^{1-s})\cdot\zeta(s)</math>

ist leicht zu folgern, dass <math> \eta(s) </math> sowohl für alle <math> m \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} </math> bei <math> s_m = 1+\tfrac{2\pi mi}{\ln 2} </math>, als auch zusätzlich an denselben Stellen wie <math> \zeta(s) </math> verschwindet. Dazu gehören sowohl die sogenannten „trivialen“ Nullstellen bei <math> s = -2, -4, -6, -8, ... </math>, also

<math> \eta(-2) = \eta(-4) = \eta(-6) = \eta(-8) = \cdots = 0, </math>

als auch die „nicht-trivialen“ Nullstellen im Streifen <math> \{s \in \mathbb{C} | 0 < \mathrm{Re} s < 1 \} </math>.

Die berühmte und bis heute unbewiesene Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen den Realteil 1/2 besitzen.

Ableitung

Die Ableitung der <math> \eta </math>-Funktion ist für <math> \mathrm{Re} s > 0 </math> wieder eine Dirichletreihe.

<math> \eta'(s) = \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\ln n}{n^s}. </math>

Ein geschlossener Ausdruck kann über

<math> \eta'(s) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(1 - 2^{1-s})\zeta(s) =\frac{}{}2^{1-s}(\ln2)\zeta(s)+(1-2^{1-s})\zeta^\prime(s), </math>

und unter Anwendung der Produktregel gewonnen werden.

Weiteres

Die Verwandtschaften von <math>\eta</math> zu der dirichletschen <math>\lambda</math>-Funktion<ref>Eric W. Weisstein: Dirichlet Lambda Function. In: MathWorld (englisch).</ref> und der riemannschen <math>\zeta</math>-Funktion werden durch folgende Formel zum Ausdruck gebracht:<ref>J. Spanier, K. B. Oldham: The Zeta Numbers and Related Functions. In: An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, S. 25–33, 1987.</ref>

<math>\frac{\zeta(v)}{2^v}=\frac{\lambda(v)}{2^v-1}=\frac{\eta(v)}{2^v-2}</math>

bzw.

<math>\ \zeta(v)+\eta(v)=2\lambda(v).</math>

Die dirichletsche eta-Funktion ist ein Spezialfall des Polylogarithmus, denn es gilt:

<math>\ \eta(x)=-\mathrm{Li}_x(-1).</math>

Damit ist sie auch ein Spezialfall der lerchschen Zeta-Funktion:

<math>\,\eta(s)=\Phi (-1,s,1).</math>

Außerdem gilt

<math>\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{[-\ln(x y)]^s}{1+xy}\;\mathrm dx\,\mathrm dy=\Gamma(s+2)\eta(s+2).</math>

Literatur

• Eric W. Weisstein: Dirichlet Eta Function. In: MathWorld (englisch).
• Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, New York: Dover, 1972.
• Konrad Knopp [1922]: Theory and Application of Infinite Series. Dover, 1990, ISBN 0-486-66165-2..

Einzelnachweise

<references/>