Grad (Graphentheorie)

Grad (auch Knotengrad oder Valenz) ist ein grundlegender Begriff der Graphentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er beschreibt Eigenschaften eines Knotens, die sich durch mit ihm verbundene Kanten beschreiben lassen.

Der Grad <math>d_G(v)</math> in einem Graphen ist die Anzahl der Kanten, die den Knoten <math>v</math> mit anderen Knoten verbinden. Eine Schlinge wird dabei doppelt gezählt. Oft wird auch die Notation <math>\deg_G(v)</math> (engl. degree) verwendet

Falls klar ist, um welchen Graphen es sich handelt, lässt man den Index <math>G</math> bei <math>d</math>, <math>d^+</math> und <math>d^-</math> auch oft weg.

Definition

Ungerichtete Graphen

In einem ungerichteten Graph ist <math>d_G(v)</math> in

• Graphen ohne Mehrfachkanten und Hypergraphen die Anzahl der Nachbarn von v,
• Graphen mit Mehrfachkanten die Summe der Vielfachheiten aller mit v inzidenten Kanten.

Den kleinsten Grad eines Knotens in <math> G </math> nennt man den Minimalgrad von <math> G </math> und bezeichnet diesen mit <math> \delta (G)</math>, den größten Grad eines Knotens in <math> G </math> nennt man den Maximalgrad von <math> G </math>, dieser wird meist mit <math> \Delta ( G ) </math> bezeichnet. Der Durchschnitt aller Knotengrade von <math> G</math> wird Durchschnittsgrad genannt und mit <math> d(G) </math> bezeichnet.

Gerichtete Graphen

In gerichteten Graphen wird unterschieden, ob eine Kante an einem Knoten beginnt oder endet. Mit <math>d_G^-(v)</math> bezeichnet man den Eingangsgrad des Knotens v in einem gerichteten Graphen G und mit <math>d_G^+(v)</math> dessen Ausgangsgrad.

Dabei ist <math>d_G^-(v)</math> in

• Graphen ohne Mehrfachkanten die Anzahl der Vorgänger von v,
• Graphen mit Mehrfachkanten die Summe der Vielfachheiten aller Kanten in G der Form (v, x).

und <math>d_G^+(v)</math> in

• Graphen ohne Mehrfachkanten die Anzahl der Nachfolger von v,
• Graphen mit Mehrfachkanten die Summe der Vielfachheiten aller Kanten in G der Form (x, v).

Einen Knoten ohne Eingangskanten (<math>d_G^-(v)=0</math>) nennt man Quelle, einen Knoten ohne Ausgangskanten (<math>d_G^+(v)=0</math>) nennt man Senke.

Verwandte Begriffe

• Man nennt einen Knoten isoliert, wenn er:
  • in einem ungerichteten Graphen: keine Nachbarn besitzt <math>d_G =0</math>.
  • in einem gerichteten Graphen: keine Vorgänger und keine Nachfolger besitzt. <math>d_G^+ = d_G^- =0</math>.

• Ein ungerichteter Graph (bzw. Hypergraph) G heißt regulär, falls alle seine Knoten denselben Grad besitzen. Besitzen alle seine Knoten Grad k, so bezeichnet man G als k-regulär. Einen 3-regulären Graphen bezeichnet man auch als kubisch.

• Ein gerichteter Graph G heißt regulär, falls alle seine Knoten denselben Eingangs- und Ausgangsgrad besitzen. Besitzen alle seine Knoten Eingangs- und Ausgangsgrad k, so bezeichnet man G als k-regulär.

• Ein Hypergraph G heißt uniform, wenn alle Kanten von G die gleiche Anzahl Knoten enthalten. Enthalten alle Kanten von G genau k Knoten, so nennt man G k-uniform.

Eigenschaften

• Stets gilt <math> \delta (G) \leq d (G) \leq \Delta (G)</math>. Gleichheit tritt z.B. bei vollständigen Graphen ein.
• Die Anzahl der Ecken mit ungeradem Grad ist stets gerade.

Verwendung

Der Grad gehört zu den Grundbegriffen der Graphentheorie und liefert viele wichtige Abschätzungen für Grapheneigenschaften wie z.B. die Kantenfärbungszahl

Literatur

•  Reinhard Diestel: Graphentheorie. Springer, Berlin 2010, ISBN 978-3-642-14911-5 (354 Seiten).