Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix, Ableitungsmatrix oder Jacobische genannt) einer differenzierbaren Funktion <math>f\colon {\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^m} \,\!</math> ist die <math>m \times n</math>-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion <math>f</math> bezüglich der Standardbasen des <math>\R^n</math> und des <math>\R^m</math>. Sie wird mit <math>J_f</math> , <math>Df</math>, <math>\textstyle\frac{\partial f}{\partial x}</math> oder <math>\textstyle\frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}</math> bezeichnet.

Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Definition

Sei <math>f : U \subset \R^n \to \R^m</math> eine Funktion, deren partielle Ableitungen alle existieren, mit den Komponentenfunktionen <math>f := (f_1 , \ldots, f_m)</math>. Außerdem werden mit <math>x := (x_1, \dots, x_n)</math> die Koordinaten im Urbildraum <math>\R^n</math> bezeichnet. Für <math>a \in U</math> ist die Jacobi-Matrix im Punkt <math>a</math> dann durch

<math>J_f(a) := \frac{\partial {f}}{\partial {x}}(a) := \frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}(a) := \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\right)_{i=1,\ldots,m;\ j=1,\ldots,n}</math> ,

beziehungsweise ausführlich durch

<math>J_f(a) := \begin{pmatrix}

\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(a) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} (a) \end{pmatrix}</math>

definiert.

In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) Gradienten der Komponentenfunktionen von <math>f</math>.

Beispiel

Die Funktion <math>

f: \R^3 \to \R^2

</math> sei gegeben durch

<math>

f(x,y,z) = \binom{x^2 + y^2 + z \cdot \sin x}{z^2 + z \cdot \sin y}

</math>

Dann ist

<math>\begin{align}

\frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) &= \binom{2x + z \cdot \cos x}{0} \\

\frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) &= \binom{2y}{z \cdot \cos y} \\

\frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) &= \binom{\sin x}{2z + \sin y} \end{align}</math>

und damit die Jacobi-Matrix

<math>

J_f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{ccc}

        2x + z \!\cdot\! \cos x & 2y  & \sin x \\
        0 &\; z \cdot \cos y \; & \;2z + \sin y 

\end{array} \right ) </math>

Anwendungen

• Ist die Funktion <math>f : U \subset \R^n \to \R^m</math> total differenzierbar, so ist die Jacobi-Matrix eine Koordinatendarstellung der Ableitung von <math>f</math>.

• Für <math>m = 1</math> entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von <math>f</math>. Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.

• Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für einen Punkt <math>p = (p_1,\dots,p_n)</math> ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von <math>f</math> in der Nähe von <math>p</math> verwendet werden:
  <math style="margin-left:2em">

f(x_1,\dots,x_n) \approx f(p_1,\dots,p_n) + J_f(p_1,\dots,p_n) \begin{pmatrix}x_1 - p_1 \\ \vdots \\ x_n - p_n \end{pmatrix}. </math>
Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).

• Die Fortpflanzung von Messfehlern in Form einer Kovarianzmatrix geschieht durch die Jacobi-Matrix: <math>V_f = J\cdot V_x\cdot J^T</math>

Determinante der Jacobi-Matrix

Sei <math>m=n</math>, es wird also eine differenzierbare Funktion <math>f \colon U \subset \R^n \to \R^n</math> betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix <math>J_f(a)</math> am Punkt <math>a \in U</math> eine quadratische <math>n \times n</math>-Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix <math>\det(J_f(a))</math> bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt <math>a</math> ungleich null, so ist die Funktion <math>f</math> in einer Umgebung von <math>a</math> invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist <math>m \neq n</math>, so kann man natürlich keine Determinante der <math>m \times n</math>-Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird Gramsche Determinante genannt.

Jacobi-Matrix einer holomorphen Funktion

Neben Funktionen <math>f : U \subset \R^n \to \R^m</math> kann man auch Funktionen <math>h : V \subset \C^n \to \C^m</math> auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion <math>h := (h_1, \ldots , h_m) : V \subset \C^n \to \C^m</math> kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine <math>m \times n</math> mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine <math>2m \times 2n </math>-Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die <math>m \times n</math>-Jacobi-Matrix <math>J_h^\C(z)</math> am Punkt <math>z := (z_1, \ldots , z_n) \in V \subset \C^n</math> ist durch

<math>J_h^\C(z) := \begin{pmatrix}

\frac{\partial h_1(z)}{\partial z_1} & \cdots & \frac{\partial h_1(z)}{\partial z_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial h_m(z)}{\partial z_1} & \cdots & \frac{\partial h_m(z)}{\partial z_n} \end{pmatrix}</math> definiert.

Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen <math>u,v \colon \R^n \to \R^m</math>, sodass <math>h = u + i v</math> gilt. Die Funktionen <math>u</math> und <math>v</math> kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien <math>z := (z_1, \ldots , z_n)</math> die Koordinaten in <math>\C^n</math> und setze <math>z_j := x_j + i y_j</math> für alle <math>j</math>. Die <math>2m \times 2n </math>-Jacobi-Matrix <math>J_h^\R(z)</math> der holomorphen Funktion <math>h</math> am Punkt <math>z \in V</math> ist dann definiert durch

<math>J_h^\R(z) := \begin{pmatrix}

\frac{\partial u_1 (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial u_1 (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial u_1 (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial u_1(z)}{\partial y_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial u_m (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial u_m (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial u_m (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial u_m(z)}{\partial y_n}\\ \frac{\partial v_1 (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial v_1 (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial v_1 (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial v_1(z)}{\partial y_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial v_m (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial v_m (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial v_m (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial v_m(z)}{\partial y_n} \end{pmatrix}</math>.

Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen <math>m = n</math>, so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich

<math>\det\left(J_h^\R(z)\right) = \left|\det(J_h^\C(z))\right|^2</math>.

Siehe auch

• Mehrdimensionale Kettenregel
• Hesse-Matrix

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8. (für Jacobi-Matrizen reeller Funktionen).
• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95395-7. (S. 30–31; für Jacobi-Matrizen holomorpher Funktionen).