Nyquist-Shannon-Abtasttheorem

Das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem, auch nyquist-shannonsches Abtasttheorem und in neuerer Literatur auch WKS-Abtasttheorem (für Whittaker, Kotelnikow und Shannon) genannt, ist ein grundlegendes Theorem der Nachrichtentechnik, Signalverarbeitung und Informationstheorie. Wladimir Kotelnikow formulierte und bewies das Abtasttheorem 1933. Die Veröffentlichung in einem sowjetischen Konferenzbericht wurde im Osten seit den 1950er Jahren referenziert, blieb aber allgemein im Westen bis in die 1980er weitgehend unbekannt. Unabhängig von Kotelnikow formulierte es Claude Elwood Shannon 1948 als Ausgangspunkt seiner Theorie der maximalen Kanalkapazität, d. h. der maximalen Bitrate in einem frequenzbeschränkten, rauschbelasteten Übertragungskanal.<ref>Claude Elwood Shannon: Communication in the Presence of Noise (PDF; 301 kB). In: Proc. IRE. Vol. 37, No. 1, 1949 (Nachdruck in: Proc. IEEE. Vol. 86, No. 2, 1998)</ref>

Das Abtasttheorem besagt, dass ein auf <math>f_\text{max}</math> bandbegrenztes Signal<ref>Algorithmic Information Theory: Mathematics of Digital Information Processing, Peter Seibt, Springer, 2006, ISBN 3540332197, S. 216 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).</ref> mit einer Frequenz von größer <math>2\cdot f_\text{max}</math> abgetastet werden muss, damit man es aus dem zeitdiskreten Signal wieder exakt rekonstruieren kann.

Geschichtliche Entwicklung

Claude Shannon stützte sich auf Überlegungen von Harry Nyquist zur Übertragung endlicher Zahlenfolgen mittels trigonometrischer Polynome und auf die Theorie der Kardinalfunktionen von Edmund Taylor Whittaker (1915) und dessen Sohn John Macnaghten Whittaker (1928).<ref> J. M. Whittaker: The “Fourier” Theory of the Cardinal Function. In: Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (Series 2). 1, Nr. 03, 1928, S. 169–176, doi:10.1017/S0013091500013511.}</ref> Zu ähnlichen Resultaten wie Nyquist kam Karl Küpfmüller im Jahre 1928<ref> K. Küpfmüller: Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. In: Elektrische Nachrichtentechnik. Bd. 5, Nr. 11, 1928, S. 459–467.</ref>.

Erst die Rechercheure der Eduard-Rhein-Stiftung haben die Priorität von Kotelnikow zweifelsfrei nachgewiesen. Dafür bekam er 1999 den Eduard-Rhein-Preis.

Unabhängig von Kotelnikow bewies Herbert P. Raabe das Abtasttheorem im Jahre 1939.<ref>Hans Dieter Lüke: The Origins of the Sampling Theorem, IEEE Communications Magazine, S. 106–108, April 1999. Online-Version (PDF; 53 kB)</ref>

Grundlagen

Das von Shannon formulierte Abtasttheorem besagt, dass eine Funktion, die keine Frequenzen höher als <math>\textstyle f_\text{max}</math> enthält, durch eine beliebige Reihe von Funktionswerten im Abstand <math>\tau=\tfrac{1}{2 f_\text{max}}</math> eindeutig bestimmt ist. Eine hinreichende Bedingung dafür ist die Quadratintegrierbarkeit der Funktion.

Der Funktionsverlauf kann dann rekonstruiert werden, indem jeder Abtastwert <math>\hat x(k\tau)</math> durch eine sinc-Funktion <math>\operatorname{si}( 2 \pi f_\text{max} (t-k\tau) ) \cdot \hat x(k\tau)</math> mit gleicher Amplitude ersetzt und anschließend über alle k aufsummiert wird.

In der Signalverarbeitung entspricht dies der Abtastung mit einer Abtastrate <math>f_\text{abtast} \ge 2 f_\text{max}</math>. Die so erhaltene Signaldarstellung wird Pulsamplitudenmodulation genannt. Zur Rekonstruktion wird dieses Signal durch einen idealen Tiefpass mit Grenzfrequenz <math>f_\text{max}</math> gefiltert.

Bei Nicht-Basisband-Signalen, d. h. solchen mit minimaler Frequenz f_min größer als 0 Hz, gilt das Abtasttheorem in ähnlicher Form, da durch geeignete Wahl der Abtastfrequenz, das Bandpasssignal im Basisband nach der Abtastung erscheint. Die Abtastfrequenz muss dann lediglich größer als die doppelte Bandbreite sein (siehe auch #Unterabtastung). Bei der Rekonstruktion wird hier statt eines idealen Tiefpasses ein idealer Bandpass verwendet.

Bei der Unterabtastung eines Bandpasssignals gilt:

<math> f_\mathrm{abtast} \ge 2(\,f_\mathrm{max} - f_\mathrm{min}) </math>

In der Praxis wird ein Signal vor der Abtastung meist tiefpassgefiltert, damit die (Basis-)Bandbreite der Abtastrate genügt. Analog gilt das Abtasttheorem auch bei Bildern und Videos, wobei die Abtastfrequenz dann in Linien (bzw. Pixel) pro Längeneinheit bestimmt werden kann.

Anschauung

Wie im Artikel Abtastung (Signalverarbeitung) beschrieben ist, kann man das Abtasten eines Signals <math>s</math> durch die Multiplikation mit einem Dirac-Kamm <math>k</math>modellieren, wodurch man das abgetastete Signal <math>s_a</math> erhält. Nach der Umkehrung des Faltungstheorems ergibt sich damit die Fouriertransformierte des abgetasteten Signals durch:

<math>\mathcal{FT}(s_a)(\omega)=\left( \mathcal{FT}(s)*\mathcal{FT}(k)\right) (\omega),</math>

wobei <math>\mathcal{FT}(s_a)(\omega)=\mathcal{FT}(s_a)\left(\omega +\frac{2\pi}{\Delta t}\right)</math> periodisch mit der Periode <math>\frac{2\pi}{\Delta t}</math> ist und <math>\Delta t</math> der Abstand zwischen 2 Abtastzeitpunkten ist. Unterschreitet man nun mit der Abtastfrequenz <math>\frac{1}{\Delta t}</math> die Frequenz <math>2 f_\text{max}</math> (für Basisbandsignale), so werden niedrigere und höhere Frequenzkomponenten im Frequenzraum überlagert und können anschließend nicht mehr getrennt werden.<ref>Thomas Görne: Tontechnik. Hanser Verlag, 2008, ISBN 3446415912, S. 153 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).</ref>

Erklärung der Begriffe

Bandbeschränktes Signal

Ein in der Bandbreite beschränktes Signal x mit einer maximalen Frequenz F:=f_max ist eine Funktion, für welche die Fouriertransformierte <math>X=\mathcal F(x):\R\to\mathbb C</math> existiert und diese Fouriertransformierte außerhalb des Intervalls <math>[-2\pi F,2\pi F]</math> Null ist. Dann kann umgekehrt das bandbeschränkte Signal durch die inverse Fouriertransformation der Frequenzdichte dargestellt werden:

<math>x(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-2\pi F}^{2\pi F} X(\omega)e^{\mathrm{i}\omega\,t}\, d\omega</math>.

„Gute“, zulässige Funktionen für die Frequenzdichte X sind beispielsweise stückweise stetige Funktionen, für die in jedem Punkt beide der einseitigen Grenzwerte existieren. Allgemeiner sind Funktionen aus dem Funktionenraum <math>L^2([-2\pi F,2\pi F],\mathbb C)</math> zulässig.

Ist x reellwertig, so gilt <math>X(-\omega)=\overline{X(\omega)}</math>. Wird X in Polarkoordinaten dargestellt, <math>X(\omega)=|X(\omega)|e^{i\,\phi(\omega)}</math>, so erhalten wir x mittels eines Integrals mit reellem Integranden,

<math>

x(t)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{2\pi F}|X(\omega)|\,\cos(\omega\,t+\phi(\omega))\, d\omega </math>. In der kartesischen Darstellung <math>X(\omega)=A(\omega)+iB(\omega)</math> ergibt sich analog

<math>

x(t)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{2\pi F}\left(A(\omega)\,\cos(\omega\,t)-B(\omega)\,\sin(\omega\,t)\right)\, d\omega </math>.

Abtasten mit der doppelten Frequenz

Abtasten mit der doppelten Frequenz bedeutet hier, dass Funktionswerte in gleichmäßigen Abständen genommen werden, wobei ein einfacher Abstand <math>\Delta t = 1/(2 F)</math> beträgt, d. h., aus x wird die Zahlenfolge <math>x[k]:=x(k\Delta t)</math> konstruiert. Nach der Fourierdarstellung ergeben sich diese Werte aus der Frequenzdichte als

<math>x(k\Delta t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-2\pi F}^{2\pi F} X(\omega)e^{\mathrm{i}\frac{k\omega}{2F}}\, d\omega</math>.

Diese sind aber gerade die Koeffizienten in der Fourierreihenentwicklung

<math>X(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}\,2F}\sum_{k=-\infty}^\infty x(k\Delta t) e^{-\mathrm{i}\frac{k\omega}{2F}}.</math>

Somit ist die Frequenzdichte und damit das Signal schon durch die Werte der Abtastfolge vollständig determiniert.

Rekonstruieren ohne Informationsverlust

Rekonstruieren ohne Informationsverlust bedeutet, dass die Lagrange-Interpolation, ausgeweitet auf den Fall mit unendlich vielen, regelmäßig angeordneten Stützstellen, wieder das Ausgangssignal ergibt

<math>

x(t)=y(t):=\sum_{k=-\infty}^\infty x_k\prod_{j\in\mathbb Z,\;j\ne k}\frac{t-j\Delta t}{k\Delta t-j\Delta t} =\sum_{k=-\infty}^\infty x(k\Delta t)\ \operatorname{sinc}(t/\Delta t-k) </math>. Man beachte, dass zur Bestimmung eines jeden Signalwertes eine Summation über einen unendlichen Bereich notwendig ist. Außerdem müssen unendlich viele Takte abgewartet werden, bevor die Summation abgeschlossen werden kann.

Die Funktion <math>\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}</math>, der Sinus cardinalis (sinc), ist dabei der ideale Interpolationskern für ganzzahlige Stützstellen; es ist sinc(0)=1 und sinc(n)=0 für jedes weitere ganzzahlige n. Die interpolierende Reihe wird auch, nach Whittakers Notation, als Kardinalreihe bezeichnet, dabei bezieht sich die Vorsilbe kardinal auf die herausragende Rolle als „schwankungsärmste“ unter allen interpolierenden Funktionenreihen. Die sinc-Funktion hat, bis auf einen Faktor, die Rechteck-Funktion <math>\operatorname{rect}\left(\frac{x}{2\pi}\right)</math> als Fourier-Transformierte, diese hat den Wert 1 auf dem Intervall <math>[-\pi; \pi]</math>, sonst den Wert Null. Sie ist also bandbeschränkt mit höchster Frequenz 1/2.

Die Entwicklung als Kardinalreihe ergibt sich nun ganz natürlich, indem die Fourierreihe der Frequenzdichte in die inverse Fouriertransformation eingesetzt wird,

<math>

x(t)=\frac1{4\pi F}\,\sum_{k=-\infty}^\infty x(k\Delta t) \int_{-2\pi F}^{2\pi F} e^{-\mathrm{i}\frac{k\omega}{2F}+i\omega t}\,d\omega =\sum_{k=-\infty}^\infty x(k\Delta t) \operatorname{sinc}(2Ft-k). </math>

Signal in Bandpasslage

Ein reelles Signal in Bandpasslage muss, um Abtastung durch Funktionswerte zu erlauben, eine nur für Frequenzen aus dem Intervall <math>[2\pi nF, 2\pi(n+1)F]</math> nicht verschwindende Fourier-Transformierte haben. Dann ist F die einseitige Bandbreite. Dieses kann auf Frequenzbänder beliebigen Zuschnitts verallgemeinert werden, allerdings ist dann das Abtasten nicht durch Funktionswerte, sondern durch Skalarprodukte zu definieren. Ein Beispiel dafür ist das Frequenzmultiplexverfahren, siehe auch OFDM.

Bemerkung: Kein endliches Signal, d. h., keine Funktion mit einem endlichen Träger erfüllt die Voraussetzungen an eine bandbeschränkte Funktion. Ebenso wenig fallen periodische Signale, wie zum Beispiel reine Sinusschwingungen, in den Bereich dieses Theorems; genauso wenig Signale mit Unstetigkeiten (Knicken oder Sprüngen im Verlauf). Es ist somit als ideale Aussage in einer idealen Situation zu betrachten. Dem Ideal am nächsten kommen modulierte Schwingungen, wie Musik- oder Sprachaufzeichnungen, die zur Weiterverarbeitung digitalisiert werden sollen. Für andere praktische Zwecke, z. B. digitale Bildbearbeitung, müssen Varianten des Abtasttheorems mit nicht ganz so starken Anforderungen gefunden werden, für die dieses Theorem dann Richtschnur ist.<ref>vgl. Michael Unser: Sampling – 50 Years after Shannon. In: Proceedings of the IEEE. Vol. 88, No. 4, 2000, S. 569–587, (online).</ref>.

Mathematischer Hintergrund

Zu mathematischen Grundlagen siehe: Lebesgue-Integral, Lebesgue-Raum, Fourier-Transformation

Durch Skalieren der Zeitabhängigkeit kann jedes bandbeschränkte Signal x(t) auf den Frequenzbereich [-½; ½], bzw. [-π; π] als Kreisfrequenzbereich, reduziert werden. Die Frequenzdichte g(f) muss eine Funktion beschränkter Variation sein, wie es zum Beispiel stückweise stetige Funktionen sind. Dann ist x(t) eine stetige, beliebig oft differenzierbare, absolut- und quadratintegrable Funktion, <math>x\in L^2(\R)\cap L^1(\R)\cap C^\infty(\R)</math>, und hat eine Fourier-Transformierte <math>X=\hat x\in L^2(\R)</math> mit Träger <math>\operatorname{supp}\,\hat x\subset [-\pi,\pi]</math>.

Der Funktionswert x(t) an jedem beliebigen Punkt t ist unter diesen Voraussetzungen schon allein durch die Funktionswerte x(n) an allen ganzzahligen Punkten t=n festgelegt, es gilt:

<math>

x(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)\cdot \frac{\sin(\pi(t-n))}{\pi(t-n)} =\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n x(n)}{t-n} </math>.

Diese Gleichung enthält zwei nichttriviale Aussagen: 1) Die unendliche Reihe konvergiert, und 2) der Grenzwert ist immer identisch mit dem Funktionswert x(t).

Artefakte

Wird die Abtastfrequenz unbedacht zu klein gewählt, treten Artefakte auf. Diese nichtlinearen Verzerrungen sind auch unter dem Begriff Alias-Effekt bekannt. Bei Bildern treten eventuell phasenverschobene Schatten oder neue Strukturen auf, die im Original nicht enthalten sind.

Tiefpass zur Verhinderung von Artefakten

Eventuell enthaltene Signalanteile mit einer Frequenz größer der halben Abtastfrequenz müssen vor der Abtastung mit einem analogen Tiefpass-Filter aus dem Signal entfernt werden, da es sonst zu Artefakten kommt. Die Artefakte sind Alias-Signale (Störsignale, Pseudosignale), die sich als störende Frequenzanteile bemerkbar machen. Wird zum Beispiel ein Sinussignal, das eine Frequenz von 1600 Hz hat, mit einer Abtastfrequenz von 2000 Hz digitalisiert, erhält man ein 400-Hz-Alias-Signal (2000–1600 Hz). Bei einer Abtastfrequenz über 3200 Hz entsteht dagegen kein Alias-Signal. Eine Abtastfrequenz von bspw. 3300 Hz führt zu einem Differenzsignal von 1700 Hz (3300–1600 Hz). Dieses ist jedoch größer als die halbe Abtastrate und wird demnach bei der Rekonstruktion durch einen Tiefpass entfernt.

Modifizierte Formel für praktische Anwendung

In der Praxis gibt es (prinzipiell aus Gründen der Kausalität) keinen idealen Tiefpass. Er hat immer einen gewissen Übergangsbereich zwischen praktisch keiner Dämpfung im Durchlassbereich und praktisch vollständiger Dämpfung im Sperrbereich. Daher verwendet man in der Praxis eine modifizierte Formel:

Beispiel:

<math>

f_\mathrm{abtast} \approx 2{,}2 \cdot f_\mathrm{max} </math>

Mit einer CD werden Frequenzen bis 20 kHz übertragen, die Abtastfrequenz beträgt 44,1 kHz.

Der verwendete Faktor ist abhängig vom verwendeten Tiefpassfilter und von der benötigten Dämpfung der Alias-Signale. Andere gebräuchliche Faktoren sind 2,4 (DAT, DVD) und 2,56 (FFT-Analysatoren)

Überabtastung

Wenn man eine höhere Abtastfrequenz wählt, erhält man keine zusätzlichen Informationen. Der Aufwand für Verarbeitung, Speicherung und Übertragung steigt jedoch. Trotzdem wird Überabtastung (englisch oversampling) häufig angewendet. Liegt nämlich die Nutzbandbreite B sehr nahe bei der halben Abtastfrequenz, so werden sehr hohe Anforderungen an die Flankensteilheit des Tiefpassfilters gestellt. Diese analogen Filter können häufig nur mit großem Aufwand abgeglichen werden.

Überabtastung erlaubt es, die Anforderungen an das analoge Tiefpassfilter drastisch zu reduzieren, indem die steilflankige Bandbegrenzung auf ein präzises Digitalfilter hoher Ordnung verlagert wird. In der Praxis wird häufig ein Überabtastungsfaktor M = 2 oder M = 4 gewählt. Somit braucht man weniger steile analoge Filter vor dem Abtasten. Nach der ersten Abtastung wird dann ein digitales Filter vor der folgenden Abtastratenreduktion eingesetzt, womit die Abtastfrequenz nachträglich gesenkt wird. Dieses digitale Filter wird auch als Dezimationsfilter bezeichnet und kann beispielsweise in Form eines Cascaded-Integrator-Comb Filters realisiert werden.

Mathematisch ausgedrückt hat ein ideales Tiefpassfilter als Übertragungsfunktion eine Rechteckfunktion. Diese Übertragungsfunktion schneidet das Spektrum im Frequenzraum perfekt ab und das gefilterte Signal kann perfekt aus den Abtastpunkten rekonstruiert werden. Allerdings lässt sich ein ideales Tiefpassfilter nicht praktisch realisieren, da es nicht kausal und unendlich lang ist.

Deswegen verwendet man analoge Tiefpassfilter, welche eine stetige, trapezähnliche Übertragungsfunktion aufweisen und deren Flanken mit kontinuierlicher, endlicher Steigung zu- bzw. abnehmen. Diese Filter können beispielsweise in Form von Butterworth-Filtern realisiert werden. Nach dem Abtasten erfolgt die digitale Glättung und das Heruntertakten auf die Nutzbandbreite. Die Flankensteilheit hat dabei einen Einfluss auf die Güte des rekonstruierten Signals.

Unterabtastung

Die Bedingung f_abtast ≥ 2 · f_max aus dem Abtasttheorem ist eine vereinfachte Darstellung, die allerdings sehr gebräuchlich und nützlich ist. Genau genommen muss anstelle von f_max die Bandbreite stehen, die durch den Bereich zwischen niedrigster und höchster im Signal vorkommenden Frequenz definiert ist. Nur in Basisbandsignalen ist die Bandbreite mit f_max identisch, Basisbandsignale sind Signale mit niederfrequenten Anteilen in der Nähe von 0 Hz.

Diese Erkenntnis führte zu einem Konzept namens Bandpassunterabtastung (oder sub-nyquist sampling), das zum Beispiel in digitaler Radiotechnik Verwendung findet. Angenommen, man möchte alle Radiosender empfangen, die zwischen 88 und 108 MHz senden. Interpretiert man das Abtasttheorem wie bisher beschrieben, so müsste die Abtastfrequenz über 216 MHz liegen. Tatsächlich wird aber durch die Technik der Unterabtastung nur eine Abtastfrequenz von etwas mehr als 40 MHz benötigt. Voraussetzung dafür ist, dass vor der Abtastung aus dem Signal mittels Bandpassfilter alle Frequenzen außerhalb des Frequenzbereichs von 88 bis 108 MHz entfernt werden. Die Abtastung erfolgt beispielsweise mit 44 MHz, ohne dass der relevante Bereich von einem analogen Mischer umgesetzt würde – das Ergebnis ist quasi ein Alias-Signal und entspricht dem Signal, das bei Abtastung eines per Mischer auf 0–22 MHz umgesetzten Bereichs entstünde.

Um in der Praxis die notwendige punktförmige Abtastung wenigstens näherungsweise realisieren zu können, muss die Abtast-Halte-Schaltung jedoch derart ausgelegt werden, dass das Ausleseintervall so eng wird, wie es für eine Abtastfrequenz von 220 MHz oder mehr vonnöten wäre. Zu vergleichen ist das mit einer Abtastung mit 220 MHz, von der nur jeder fünfte Wert weiterbenutzt wird, während die je vier dazwischenliegenden Abtastwerte verworfen werden.

Siehe auch

• Liste von Sätzen der Informatik

Literatur

• Harry Nyquist: Certain Topics in Telegraph Transmission Theory. In: Transactions of the American Institute of Electrical Engineers. Vol. 47, 1928, ISSN 0096-3860, S. 617–644 (Wiederabdruck in: Proceedings of the IEEE. Vol. 90, No. 2, 2002, ISSN 0018-9219, S. 617–644).
• J. R. Higgins: Five short stories about the cardinal series. In: Bulletin of the American Mathematical Society. NS Vol. 12, No. 1, 1985, S. 45–89.
• Michael Unser: Sampling – 50 Years after Shannon. In: Proceedings of the IEEE. Vol. 88, No. 4, 2000, S. 569–587, (online).
•  Wolfgang Wunderlich: Digitales Fernsehen HDTV, HDV, AVCHD für Ein- und Umsteiger. Auberge-tv Verlag, Hohen Neuendorf 2007, ISBN 978-3-00-023484-2.

Weblinks

• Demonstrationsprogramm zum Abtasttheorem
• Interaktive Darstellung der Abtastung und der Signalrückgewinnung in einer Webdemo Institut für Nachrichtenübertragung der Universität Stuttgart

Einzelnachweise

<references />