Steifigkeit

Die Steifigkeit ist eine Größe in der Technischen Mechanik. Sie beschreibt den Widerstand eines Körpers gegen elastische Verformung durch eine Kraft oder ein Drehmoment (Biegemoment oder Torsionsmoment, je nach Beanspruchung). Entsprechend gibt es verschiedene Arten von Steifigkeiten: Dehn-, Biege- und Torsionssteifigkeit.

Die Steifigkeit eines Bauteils hängt nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffs, sondern auch von der Geometrie des Bauteils ab. Die Steifigkeit gilt für kleine Verformungen, im linearen Bereich, und ist nicht mit der Festigkeit zu verwechseln, die ein Maß für die ertragbaren Belastungen eines Werkstoffs ist.

Für schlanke Körper mit einheitlicher Größe und Form der Querschnittsfläche über die Länge ist mit Steifigkeit oft die relative, auf die Länge bezogene Steifigkeit gemeint. Diese ist eine Eigenschaft von Material und Querschnitt, während die absolute Steifigkeit außerdem umgekehrt proportional zur Länge ist. Der Kehrwert der absoluten Steifigkeit wird Nachgiebigkeit genannt.

Für kompliziertere Geometrien ist die Trennung der Steifigkeiten nach Belastungsarten nicht möglich. So kann eine Belastung auf Zug zu einer Torsion führen. Die (absolute) Steifigkeit ist dann ein Tensor.

Relative Steifigkeiten

Dehnsteifigkeit

Die Dehnsteifigkeit ist das Produkt aus dem Elastizitätsmodul <math>E</math> des Werkstoffs in Belastungsrichtung und der Querschnittsfläche <math>A</math> senkrecht zur Belastungsrichtung (unabhängig von der Form des Querschnitts):

<math>\text{Dehnsteifigkeit} = E \cdot A,</math> zum Beispiel in <math>\mathrm{N}.</math>

Diese Formulierung gilt für freie Querkontraktion des Querschnitts; bei behinderter Querkontraktion wird statt des Elastizitätsmoduls der querkontraktionsbehinderte Modul eingesetzt.

Die Längsdehnung <math>\varepsilon</math> des Körpers ist proportional zur angreifenden Normalkraft <math>F</math> und umgekehrt proportional zur Dehnsteifigkeit:

<math>\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}= \frac{F}{\text{Dehnsteifigkeit}} = \frac{F}{E \cdot A} \left( = \frac{\sigma}{E} \right)</math>

mit der Normalspannung <math>\sigma= \frac{F}{A}.</math>

Wie stark die absolute Längenänderung <math>\Delta L</math> eines biegebeanspruchten Bauteils bei gegebener Last (Zugkraft) ist, hängt neben der Dehnsteifigkeit auch von seiner Länge ab, s.u. absolute Steifigkeiten.

Schubsteifigkeit

Die Schubsteifigkeit ist das Produkt aus dem Schubmodul <math>G</math> des Werkstoffs und der Querschnittsfläche <math>A</math>:

<math>\text{Schubsteifigkeit} = G \cdot A \cdot \kappa \left( = G \cdot A_S \right), </math> zum Beispiel in <math>\mathrm{N}</math>

Der querschnittsabhängige Korrekturfaktor <math>\kappa</math> berücksichtigt dabei die über den Querschnitt ungleichförmige Verteilung der Schubspannung <math>\tau</math>. Oft wird die Schubsteifigkeit auch mithilfe der Schubfläche <math>A_S</math> ausgedrückt.

Die Schubverzerrung <math>\gamma</math> des Körpers ist proportional zur angreifenden Querkraft <math>Q</math> und umgekehrt proportional zur Schubsteifigkeit:

<math>\gamma = \frac{Q}{G A \kappa} \left( = \frac{Q}{G A_S} \right)</math>

Biegesteifigkeit

Die Biegesteifigkeit ist das Produkt aus dem Elastizitätsmodul des Werkstoffs und dem Flächenträgheitsmoment <math>I</math> des Querschnitts (das wiederum wesentlich von der Form des Querschnitts abhängt):

<math>\text{Biegesteifigkeit} = E \cdot I,</math> zum Beispiel in <math>\mathrm{N \cdot mm^2}.</math>

Die Krümmung <math>\kappa</math> des Körpers ist proportional zum angreifenden Biegemoment <math>M_{\mathrm{B}}</math> und umgekehrt proportional zur Biegesteifigkeit:

<math>\kappa = \frac{M_{\mathrm{B}}}{E \cdot I}.</math>

Wie stark die absolute Durchbiegung bzw. Absenkung eines biegebeanspruchten Bauteils bei gegebener Last (Biegemoment) ist, hängt neben der Biegesteifigkeit auch von seiner Länge und den Lagerungsbedingungen ab.

Torsionssteifigkeit

Die Torsionssteifigkeit (auch mit Verwindungssteifigkeit bezeichnet) ist das Produkt aus dem Schubmodul <math>G</math> des Werkstoffs und dem Torsionsträgheitsmoment <math>I_{\mathrm{T}}</math>:

<math>\text{Torsionssteifigkeit} = G \cdot I_{\mathrm{T}},</math> zum Beispiel in <math>\mathrm{N \cdot mm^2}.</math>

Das Torsionsträgheitsmoment <math>I_{\mathrm{T}}</math> ist auf die Achse bezogen, um die der Körper tordiert wird. Oft wird irrtümlicherweise behauptet, es entspräche dem polaren Flächenträgheitsmoment <math>I_{\mathrm{p}}</math> eines Querschnitts. Das gilt aber in Wirklichkeit ausschließlich für Kreis- und geschlossene Kreisring-Querschnitte. Ansonsten lässt sich für das Torsionsträgheitsmoment nur in besonderen Fällen eine geschlossene Formel angeben.

Die Drillung oder Verwindung <math>\vartheta'</math> des Körpers (Verdrehung pro Längeneinheit) ist proportional zum angreifenden Torsionsmoment <math>M_{\mathrm{T}}</math> und umgekehrt proportional zur Torsionssteifigkeit:

<math>\vartheta' = \frac{\vartheta}{L} = \frac{M_{\mathrm{T}}}{G \cdot I_{\mathrm{T}}}.</math>

Um welchen absoluten Winkel <math>\vartheta</math> ein Körper unter einer bestimmten Last verdreht wird, hängt neben dem Torsionsträgheitsmoment auch von seiner Länge und den Lagerungsbedingungen ab.

absolute Steifigkeiten, Federkonstanten

In der Praxis ist oft nicht die Dehnung <math>\varepsilon</math>, sondern die absolute Längenänderung <math>\Delta L</math> von Interesse. Daher wird bei Federn die Federkonstante durch das Verhältnis der notwendigen Kraft <math>F</math> für eine bestimmte Auslenkung <math>\Delta L</math> beschrieben:

<math>c = \frac F{\Delta L}.</math>

Für einen einheitlichen Querschnitt ist die Federkonstante gleich der relativen Steifigkeit des Federquerschnitts dividiert durch die Länge der Feder:

<math>c = \frac{E \cdot A}{L}.</math>

Daraus folgt, dass die Federkonstante sich halbiert, wenn die Länge der Feder verdoppelt wird.

Beispiel: Ein Zugstab mit dem Querschnitt A = 100 mm² und einem Elastizitätsmodul von 210.000 N/mm² hat eine (Dehn-)Steifigkeit von E·A = 2,1·10⁷ N. Ist der Stab L = 100 mm lang, so beträgt seine Federkonstante E·A / L = 210.000 N/mm.

Siehe auch

• Zug-, Druckfestigkeit
• Biegefestigkeit, Balkentheorie
• Spezifische Steifigkeit, Konsistenz (Beton)
• Drehzahlsteifigkeit
• Flächensteifigkeit

Quellen

• Norbert Herrlich, Johannes Kunz: Kunststoffpraxis. Konstruktion, Band 1/Teil 5 /Kap. 8.2: Beanspruchungsgerechtes Konstruieren, Steifigkeit. WEKA Media, Augsburg 1999, ISBN 3-8111-5935-6 (Stand März 1999, Loseblatt-Ausgabe in 2 Ordnern + 1 CD-ROM; Google Books)
• Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik, Band 2: Elastostatik, Springer Verlag, 10., neu bearbeitete Auflage, 2009, ISBN 978-3-642-00565-7