Kugel

Eine Kugel ist in der Geometrie die Kurzbezeichnung für Kugelfläche und Kugelkörper.

Kugelfläche und Kugelkörper

Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl <math>\!\ r</math> ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl <math>\!\ r</math> als Radius der Kugel.

Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper oder Vollkugel. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt.

Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.

Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (<math>\!\ x_0</math>, <math>\!\ y_0</math>, <math>\!\ z_0</math>) und Radius <math>\!\ r</math> ist die Menge aller Punkte (<math>\!\ x</math>, <math>\!\ y</math>, <math>\!\ z</math>), für die

<math>\!\ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2</math>

erfüllt ist.

In Vektorschreibweise mit <math>\vec{x} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}</math>, <math>\vec{m} = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{pmatrix}</math>:

<math> (\vec x - \vec m ) \cdot (\vec x - \vec m ) = r^2 </math>,

<math> (\vec x - \vec m )^2 = r^2 </math>,

<math> |\vec x - \vec m |^2 = r^2 </math> oder

<math> |\vec x - \vec m | = r </math>.

Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius <math>\!\ r</math> und dem Zentrum im Ursprung können durch Kugelkoordinaten wie folgt parametrisiert werden:

<math>x = r \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi</math>

<math>y = r \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi </math>

<math>z = r \cdot \cos \theta </math>

mit <math>0 \le \theta \le \pi</math> und <math>0 \le \varphi < 2 \pi</math>.

Kugelschnitte

• Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, entsteht immer ein Kreis. Wenn die Ebene den Mittelpunkt der Kugel enthält, nennt man die Schnittlinie Großkreis, andernfalls Kleinkreis.
• Die beiden dabei entstehenden Teilkörper heißen Kugelabschnitt oder Kugelsegment, im Falle des Großkreises Halbkugel (Hemisphäre).
• Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkappe, Kugelhaube oder Kugelkalotte genannt.
• Ein Kugelsegment und der Kegel mit dem Schnittkreis als Basis und dem Kugelmittelpunkt als Spitze ergeben einen Kugelausschnitt oder Kugelsektor.
• Zwei parallele, die Kugel schneidende (nicht berührende) Ebenen schneiden aus der Kugel eine Kugelschicht heraus. Den gekrümmten Teil der Oberfläche einer Kugelschicht bezeichnet man als Kugelzone.
• Zwei sich schneidende Ebenen, deren Schnittgerade teilweise innerhalb der Kugel liegt, schneiden aus der Kugel ein Objekt, dessen gekrümmte Oberfläche das Kugelzweieck ist.
• Eine Kugelschale (Hohlkugel) ist die Differenzmenge zweier konzentrischer Kugeln mit unterschiedlichem Radius.

Formeln

Volumen

Das Kugelvolumen ist der Rauminhalt einer Kugel, der durch die Kugeloberfläche begrenzt wird.

Kegelherleitung (archimedische Herleitung)

Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius <math>\!\ r</math> einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius <math>\!\ r</math> und Höhe <math>\!\ r</math> einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius <math>\!\ r</math> und Höhe <math>\!\ r</math> entfernt.

Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand <math>\!\ h</math> haben.

Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius <math>\!\ s</math> dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:

<math>s^2 + h^2 \, = \, r^2</math>.

Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche

<math>A_1 \, = \, \pi s^2 = \pi (r^2 - h^2) = \pi r^2 - \pi h^2</math>.

Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius <math>\!\ r</math> und Innenradius <math>\!\ h</math>. Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge

<math>A_2 \, = \, \pi r^2 - \pi h^2</math>.

Für einen beliebigen Abstand <math>\!\ h</math> zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit folgt mit dem Prinzip von Cavalieri, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben.

Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen:

Man subtrahiert vom Zylindervolumen das Kegelvolumen.

<math>V_\text{Zylinder} = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3</math>

<math>V_\text{Kegel} = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot r = \frac{1}{3} \pi r^3</math>

<math>V_\text{Halbkugel} = V_\text{Vergleichskörper} \, = \pi r^3 - \frac{1}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3</math>

Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel:

<math>V_\text{Kugel} \, = \, 2 \cdot V_\text{Halbkugel} = \frac{4}{3} \pi r^3</math>.

Alternative Herleitung

Die Kugel kann in unendlich viele Pyramiden mit der Höhe <math>\!\ r</math> zerteilt werden (Spitzen im Mittelpunkt der Kugel), deren gesamte Grundfläche der Oberfläche der Kugel (siehe weiter unten) entspricht. Damit beträgt das gesamte Volumen aller Pyramiden: <math>V=\frac{O\,r}{3} = \frac{(4 \pi r^2)r}{3} = \frac{4}{3} \pi r^3</math>.

Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung

Radius im Abstand <math>\!\ x</math>:

<math>s = \sqrt{r^2 - x^2}</math>.

Kreisfläche im Abstand <math>\!\ x</math>:

<math>\!\ A_x = \pi s^2</math>.

Volumen der Kugel <math>\!\ V</math>:

<math>V = \int_{- r}^r {A_x \,\mathrm dx} = \int_{- r}^r {\pi s^2 \,\mathrm dx} = \int_{-r}^r {\left( {r^2 - x^2 } \right)} \pi \,\mathrm dx = \int_{-r}^r \pi {r^2} \,\mathrm dx - \int_{-r}^r \pi {x^2 } \,\mathrm dx</math>

<math>V = \pi r^2 \left^2} \, \mathrm{d}x</math>

für die Mantelfläche eines Rotationskörpers ergibt sich:

<math>\begin{align}

O &= 2 \pi \int\limits_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2} \sqrt{\left[ 1 + \left(\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \right)^2 \right] } \, \mathrm{d}x\\ &= 2 \pi \int\limits_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2} \sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}} \, \mathrm{d}x \\ &= 2 \pi \int\limits_{-r}^r r \, \mathrm{d}x \\ &= 2 \pi r \int\limits_{-r}^r \, 1 \mathrm{d}x \\ &= 4 \pi r^2 \end{align}</math>

Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung in Kugelkoordinaten

Für das Flächenelement auf Flächen <math>r</math> = konstant gilt in Kugelkoordinaten:

<math>\mathrm{d}A=r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi </math>.

Damit lässt sich die Oberfläche einfach berechnen:

<math>\begin{align}

O &= \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, \mathrm{d}A\\ &= \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\pi} r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi \\ &= 2 \pi r^2 \int\limits_{0}^{\pi} \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \\ &= 4 \pi r^2 \end{align}</math>

Eigenschaften

Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes.

Die Kugel besitzt weder Kanten noch Ecken. Ihre Oberfläche lässt sich nicht verzerrungsfrei in der Ebene ausbreiten, siehe dazu auch den Artikel Kartennetzentwurf.

Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Körpern mit vorgegebener Oberfläche umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind näherungsweise Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitationsbindungsenergie ist. Die mathematische Kugel ist eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln haben stets nur näherungsweise Kugelform.

Der einer Kugel umschriebene Zylinder hat das <math>\tfrac{3}{2}</math>-fache Volumen der Kugel. Das, sowie die Oberflächen- und Volumenformeln waren bereits dem Griechen Archimedes in der Antike bekannt.

Eine Kugel kann auch als Rotationskörper aufgefasst werden: Lässt man eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser rotieren, so entsteht dadurch eine Kugel. Wird der Kreis durch eine Ellipse ersetzt, die um eine ihrer Achsen rotiert, ergibt sich ein Rotationsellipsoid (auch Sphäroid genannt).

Verallgemeinerung

Höherdimensionale euklidische Räume

Der Begriff der Kugel lässt sich auf Räume anderer Dimension übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl <math>n</math> eine <math>n</math>‑dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des <math>n</math>‑dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) kleiner gleich einer positiven reellen Zahl <math>r</math> (dem Radius) ist. Den Rand der <math>n</math>‑dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich <math>r</math> ist, bezeichnet man als <math>(n-1)</math>‑dimensionale Sphäre oder kurz <math>(n-1)</math>‑Sphäre. Wenn man ohne weitere Angaben von der <math>n</math>‑dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die <math>n</math>‑dimensionale Einheitskugel; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und der Radius ist gleich 1.

Nach dieser Definition ist eine dreidimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2‑Sphäre. Eine zweidimensionale Kugel ist eine Kreisfläche, der zugehörige Kreisrand eine 1‑Sphäre. Eine eindimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke, wobei die beiden Streckenendpunkte als 0‑Sphäre aufgefasst werden können.

Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von <math>n</math>‑Sphären, wenn sie <math>(n-1)</math>‑dimensionale Sphären im <math>n</math>‑dimensionalen Raum meinen.

Das <math>n</math>-dimensionale Volumen einer <math>n</math>-dimensionalen Kugel mit dem Radius <math>r</math> ist

<math>r^n \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}</math>.

Hier ist <math>\Gamma</math> die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät. Den <math>(n-1)</math>‑dimensionalen Inhalt der <math>(n-1)</math>‑dimensionalen Oberfläche, also der <math>(n-1)</math>‑Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius:

<math>n r^{n-1} \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} = 2 r^{n-1} \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math>.

Für eine Einheitskugel in <math>n</math> Dimensionen findet man also folgende Volumen und Oberflächeninhalte:

Eine <math>\!\ n</math>-Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten <math>\!\ n</math>-Mannigfaltigkeit.

Metrische Räume

Den Begriff der Kugel kann man auf alle Räume verallgemeinern, in denen man einen Abstandsbegriff hat, das sind die metrischen Räume.

Ist <math>(X,d)</math> ein metrischer Raum, <math>a \in X</math> und <math>r \in \R</math>, <math>r > 0</math>, so nennt man

<math>B(a,r) = \{ x \in X \mid d(a,x) < r\}</math>

die offene Kugel mit Mittelpunkt <math>a</math> und Radius <math>r</math>.<ref>Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1976, Definition 1.3. 3. Auflage 2001, ISBN 3-540-67790-9</ref> Die Menge:

<math>\overline B(a,r) = \{ x \in X \mid d(a,x) \le r\}</math>

heißt abgeschlossene Kugel.

Manche Autoren schreiben auch <math>U(a,r)</math> für die offenen und <math>B(a,r)</math> für die abgeschlossenen Kugeln.<ref>Herbert Federer: Geometric Measure Theory. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1969, 2.8.1.</ref> Andere Schreibweisen für die offenen Kugeln sind <math>B_r(a)</math> und <math>U_r(a)</math>.

Siehe auch

• Großkreis
• Sphäre
• Sphärische Geometrie • Sphärische Trigonometrie
• Kugelzweieck • Kugeldreieck
• Kugel (Darstellende Geometrie)
• Einheitskugel

Literatur

•  Rainer Maroska, Achim Olpp, Claus Stöckle, Hartmut Wellstein: Schnittpunkt 10. Mathematik. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1997, ISBN 3-12-741050-6.

Weblinks

• Alles zum Thema Kugel
• Java-Applet zum Kugelvolumen (erfordert Installation von Java 1.4)
• Eselsbrücken für das Kugelvolumen
• Herleitung der Volumenformel für Kugeln mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri

Einzelnachweise

<references />