Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt im Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben. Bei Punkten auf einer Kugeloberfläche (Sphäre) ist der Abstand vom Ursprung (Kugelmittelpunkt) konstant. Die Zahl der Variablen reduziert sich auf die beiden Winkel, die als sphärische Koordinaten bezeichnet werden. Der Begriff „Kugelkoordinaten“ kann als Oberbegriff für den allgemeinen Fall und die sphärischen Koordinaten angesehen werden.

Kugelkoordinaten bilden neben den Zylinderkoordinaten eine Verallgemeinerung der ebenen Polarkoordinaten auf den dreidimensionalen euklidischen Raum. Sie lassen sich auch auf Räume beliebiger endlicher Dimension verallgemeinern.

Übliche Konvention

Definition

Ein Kugelkoordinatensystem im dreidimensionalen euklidischen Raum wird festgelegt durch die Wahl

• eines Zentrums <math>O</math> (Ursprung),
• einer gerichteten Gerade durch das Zentrum (Polachse), die die Polrichtung (oder Zenitrichtung) angibt, und durch diese festgelegt die Äquatorebene, die orthogonal zur Polrichtung durch das Zentrum verläuft, und
• einer Bezugsrichtung in der Äquatorebene.

Oft wird gleichzeitig ein kartesisches Koordinatensystem verwendet. Dann wird typischerweise der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems als Zentrum gewählt, die z-Achse als Polachse (und damit die x-y-Ebene als Äquatorebene) und die x-Achse als Bezugsrichtung.

In der Version der Kugelkoordinaten, die in der Mathematik und in der Physik üblich ist, wird ein Punkt <math>P</math> durch die folgenden drei Koordinaten festgelegt:

• <math>r</math>, der Radius, ist der Abstand des Punktes <math>P</math> von <math>O</math>, hiermit wird die Kugeloberfläche festgelegt, auf der sich <math>P</math> befindet.
• <math>\theta</math> oder <math>\vartheta</math>, <ref name="Papula">Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. 4. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-34937-9.</ref> der Polarwinkel oder Poldistanzwinkel<ref name="tum.de">Skript (PDF; 59 kB) an der TU München</ref>, ist der Winkel zwischen der Polrichtung und der Strecke <math>OP</math>, gezählt von <math>0</math> bis <math>\pi</math> (0° bis 180°), hierdurch wird der Ort des Punktes <math>P</math> auf eine Kreislinie der Kugeloberfläche festgelegt.
• <math>\varphi</math> oder <math>\phi</math>,<ref name="Papula"/> der Azimutwinkel,<ref name="tum.de" /> ist der Winkel zwischen der Bezugsrichtung und der Orthogonalprojektion der Strecke <math>OP</math>, gezählt von <math>-\pi</math> bis <math>\pi</math> (−180° bis 180°) oder von 0 bis <math>2\pi</math> (0° bis 360°) gegen den Uhrzeigersinn. Hierdurch wird der Ort des Punktes <math>P</math> auf der Kreislinie eindeutig definiert.

Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Punkt <math>P</math> mit den Kugelkoordinaten <math>(r, \theta, \varphi)</math>. Die beiden Winkelgrößen <math>\theta</math> und <math>\varphi</math> werden auch als Winkelkoordinaten bezeichnet.

Umrechnungen

Mathematisch gesprochen, wird jedem Koordinatentripel <math>(r, \theta, \varphi)</math> ein Punkt im dreidimensionalen euklidischen Raum zugeordnet (Parametrisierung). Wählt man ein kartesisches Koordinatensystem wie oben, so kann die Zuordnung durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden:

<math>x = r \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi</math>

<math>y = r \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi</math>

<math>z = r \cdot \cos \theta</math>

Bei diesen Gleichungen können für <math>r</math>, <math>\theta</math> und <math>\varphi</math> beliebige Zahlenwerte eingesetzt werden. Um zu erreichen, dass die Kugelkoordinaten eindeutig bestimmt sind, muss man den Wertebereich der Koordinaten einschränken. Üblicherweise wird der Radius <math>r</math> auf nichtnegative Werte beschränkt, der Winkel <math>\theta</math> auf das Intervall <math>[0, \pi]</math> bzw. [0, 180°] und der Winkel <math>\varphi</math> entweder auf das Intervall <math>(-\pi,\pi]</math> bzw. (-180°, 180°] oder das Intervall <math>[0, 2\pi)</math> bzw. [0, 360°). Auch dann gibt es ausgeartete Punkte, für die die Winkelkoordinaten nicht eindeutig sind. Für Punkte auf der z-Achse ist der Winkel <math>\varphi</math> nicht festgelegt, also beliebig. Für den Ursprung ist auch <math>\theta</math> beliebig. Um Eindeutigkeit zu erreichen, kann man für diese Punkte <math>\varphi = 0</math> festlegen und für den Ursprung zusätzlich <math>\theta = 0</math>.

Für die anderen Punkte lassen sich die Kugelkoordinaten <math>(r, \theta, \varphi)</math> aus den kartesischen Koordinaten <math>(x,y,z)</math> durch die folgenden Gleichungen berechnen:<ref>Kugelkoordinaten. Mathematik-Online-Lexikon der Universität Stuttgart. Autoren: App/Höllig</ref>

<math>{r}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>

<math>{\theta}=\arccos\frac z{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \ = \arccos\frac z{r} \ = \ \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

<math> \varphi = \operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}

\arctan(\frac y x) & \text{, wenn } x > 0, \\ \sgn(y)\frac \pi 2 & \text{, wenn } x = 0, \\ \arctan(\frac y x) + \pi & \text{, wenn } x < 0 \land y \geq 0, \\ \arctan(\frac y x) - \pi & \text{, wenn } x < 0 \land y < 0. \end{cases}</math> Die angegebenen Gleichungen für den Winkel <math>\varphi</math> gelten, wenn <math>\varphi</math> zwischen <math>-\pi</math> und <math>\pi</math> gewählt wird. Wählt man <math>\varphi</math> zwischen 0 und <math>2\pi</math>, so sind sie geeignet zu modifizieren.

In der Analysis und ihren Anwendungen werden Kugelkoordinaten-Winkel meist im Bogenmaß angegeben.

Anwendungen

Kugelkoordinaten werden oft bei der Untersuchung von Systemen verwendet, die rotationssymmetrisch bezüglich eines Punktes sind. Beispiele sind: Volumenintegrale über Kugeln, die Beschreibung und Untersuchung rotationssymmetrischer Kraftfelder, wie z. B. das Gravitationsfeld eines kugelförmigen Himmelskörper, das elektrische Feld einer Punktladung oder einer geladenen Kugel. Die betrachteten Größen hängen dann nicht von den Winkelkoordinaten ab, was viele Formeln vereinfacht. Wichtige partielle Differentialgleichungen wie die Laplace-Gleichung oder die Helmholtzgleichung können in Kugelkoordinaten durch Separation der Variablen gelöst werden.

Andere Konventionen

Die obige Koordinatenwahl ist internationaler Konsens in der theoretischen Physik. Manchmal werden die Zeichen θ und φ gerade im umgekehrten Sinne verwendet, insbesondere in amerikanischer Literatur.

Der Polarwinkel θ ist nicht die geographische Breite. Diese ist vielmehr als Winkel zwischen der Äquatorialebene und dem Ortsvektor definiert und nimmt Werte zwischen −90° und 90° an. Wird sie mit φ bezeichnet, so ist φ = 90° − θ, θ = 90° − φ. Hingegen kann man das oben benutzte φ ohne weiteres mit der geographischen Länge λ östlich von Greenwich gleichsetzen. Siehe dazu den Artikel: geographische Koordinaten.

Des Weiteren ist die obige Konstruktion in gewisser Hinsicht inkonsistent zum Aufbau der ebenen Polarkoordinaten. Für manche Probleme ist es praktischer, die Darstellung

<math>x = r \cos \theta \, \cos \varphi</math>

<math>y = r \cos \theta \, \sin \varphi</math>

<math>z = r \sin \theta \quad</math>

zu benutzen. In dieser Darstellung entspricht <math>\theta</math> der geographischen Breite.

Die Rücktransformation des Punktes bzw. Vektors <math>\vec{p}</math> in die Winkelbestandteile erfolgt dann mit:

<math>\theta = \arcsin(z / r)</math>

<math>\varphi = \mathrm{atan2}(y, x)</math>

wobei <math>r = |\vec{p}\,|</math>.

Transformation von Differentialen

Jacobi-Matrix

Die lokalen Eigenschaften der Koordinatentransformation werden durch die Jacobi-Matrix beschrieben. Für die Transformation von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten lautet diese

<math>

J =\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}

 =\begin{pmatrix}
    \sin\theta\cos\varphi&r\cos\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi\\
    \sin\theta \sin\varphi&r\cos\theta\sin\varphi&r\sin\theta\cos\varphi\\
    \cos\theta&-r\sin\theta&0
  \end{pmatrix};

</math> bei sphärischen Polarkoordinaten (nur <math>\textstyle \theta,\varphi</math>) fällt die erste Spalte weg.

Die zugehörige Funktionaldeterminante lautet:

<math>\det J=r^2\sin\theta</math>

Die Jacobi-Matrix der entgegengesetzten Transformation ist nur für räumliche, nicht für sphärische Polarkoordinaten definiert; man berechnet sie am einfachsten als Inverse von <math>J</math>:

<math>

J^{-1} =\frac{\partial(r,\theta,\varphi)}{\partial(x,y,z)}

 =\begin{pmatrix}
    \sin\theta\cos\varphi & \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta\\
    \frac{1}{r}\cos\theta\cos\varphi & \frac{1}{r}\cos\theta\sin\varphi & -\frac{1}{r}\sin\theta \\
    -\frac{1}{r}\frac{\sin\varphi}{\sin\theta} & \frac{1}{r}\frac{\cos\varphi}{\sin\theta} & 0
  \end{pmatrix}.

</math> Einige Komponenten dieser Matrix sind Brüche, an deren Nennern man die Uneindeutigkeit der Polarkoordinaten bei <math>\textstyle r=0</math> und bei <math>\textstyle \sin \theta=0</math> (also <math>\textstyle \theta=0</math> oder <math>\textstyle \pi</math>) erkennt. Ungebräuchlicher ist die Darstellung in kartesischen Koordinaten:

<math>

J^{-1}

 =\begin{pmatrix}
   \frac{x}{r}&\frac{y}{r}&\frac{z}{r}\\\\
   \frac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{yz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{-(x^2+y^2)}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\\\\
   \frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0
  \end{pmatrix}.

</math>

Differentiale, Volumenelement, Flächenelement, Linienelement

Die Jacobi-Matrix erlaubt es, die Umrechnung von Differentialen übersichtlich als lineare Abbildung zu schreiben:

<math>\begin{pmatrix}\mathrm{d}x \\ \mathrm{d}y \\ \mathrm{d}z \end{pmatrix}

  =J\cdot\begin{pmatrix}\mathrm{d}r \\ \mathrm{d}\theta \\ \mathrm{d}\varphi\end{pmatrix} </math>

beziehungsweise

<math>\begin{pmatrix}\mathrm{d}r \\ \mathrm{d}\theta \\ \mathrm{d}\varphi\end{pmatrix}

  =J^{-1}\cdot\begin{pmatrix}\mathrm{d}x \\ \mathrm{d}y \\ \mathrm{d}z \end{pmatrix} </math>.

Das Volumenelement <math>\mathrm{d}V=\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z</math> lässt sich besonders einfach mit Hilfe der Funktionaldeterminante

<math>\det J=r^2\sin\theta</math>

umrechnen:

<math>\, \mathrm{d}V=r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}r </math>.

Durch Differentiation dV/dr erhält man für das Flächenelement dA auf einer Sphäre mit Radius r

<math>\mathrm{d}A=r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta </math>.

Das Linienelement ds errechnet man gemäß

<math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2

                   =\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\theta^2 +
                     r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\varphi^2</math>

Metrik und Rotationsmatrix

Im Fehlen gemischter Glieder im Linienelement ds spiegelt sich wider, dass der metrische Tensor

<math>g=J^T J=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&r^2&0\\ 0&0&r^2\sin^2\theta\end{pmatrix}</math>

auch in Kugelkoordinaten keine Außerdiagonalelemente hat.

Der metrische Tensor ist offensichtlich das Quadrat der Diagonalmatrix

<math>h=\operatorname{diag}(1,r,r\sin\theta)</math>.

Mit Hilfe dieser Matrix lässt sich die Jacobi-Matrix als J=Sh schreiben, wobei S die Rotationsmatrix

<math>

S =\begin{pmatrix}

    \sin\theta\cos\varphi&\cos\theta\cos\varphi&-\sin\varphi\\
    \sin\theta\sin\varphi&\cos\theta\sin\varphi&\cos\varphi\\
    \cos\theta&-\sin\theta&0
  \end{pmatrix}

</math> ist.

Transformation von Vektorfeldern und -Operatoren

Im Folgenden soll die Transformation von Vektoren und Differentialoperatoren exemplarisch dargestellt werden. Die Ergebnisse werden bevorzugt in kompakter Form unter Benutzung von Transformationsmatrizen geschrieben. Die allermeisten Aussagen und Formeln gelten nur für Punkte außerhalb der z-Achse, für die die Jacobi-Determinante ungleich null ist.

Transformation der Vektorraumbasis

Der Basisvektor e_φ zur Koordinate φ gibt an, in welche Richtung sich ein Punkt P(r, θ, φ) bewegt, wenn die Koordinate φ um einen infinitesimalen Betrag dφ verändert wird:

<math>\mathbf{e}_\varphi \sim \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial\varphi}</math>.

Daraus erhält man

<math>\mathbf{e}_\varphi \sim \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial\varphi}

   = \frac{\partial x}{\partial \varphi}\mathbf e_x
    +\frac{\partial y}{\partial \varphi}\mathbf e_y
    +\frac{\partial z}{\partial \varphi}\mathbf e_z
   =-r\sin\theta\sin\varphi\mathbf{e}_x
    +r\sin\theta\cos\varphi\mathbf{e}_y</math>.

Um eine orthonormale Basis zu erhalten, muss e_φ noch auf die Länge 1 normiert werden:

<math>\mathbf{e}_\varphi = -\sin\varphi\, \mathbf{e}_x + \cos\varphi\, \mathbf{e}_y</math>.

In ähnlicher Weise erhält man die Basisvektoren e_r und e_θ:

<math>\mathbf e_r = \sin\theta\cos\varphi \, \mathbf e_x + \sin\theta\sin\varphi \, \mathbf e_y + \cos\theta \, \mathbf e_z</math>

<math>\mathbf e_\theta = \cos\theta\cos\varphi \, \mathbf e_x + \cos\theta\sin\varphi \, \mathbf e_y - \sin\theta \, \mathbf e_z</math>

Als Spaltenvektoren geschrieben:

<math>\mathbf e_r = \begin{pmatrix}

    \sin\theta\cos\varphi\\
    \sin\theta\sin\varphi\\
    \cos\theta
  \end{pmatrix}, \qquad

\mathbf e_\theta = \begin{pmatrix}

    \cos\theta\cos\varphi\\
    \cos\theta\sin\varphi\\
    -\sin\theta
  \end{pmatrix}, \qquad

\mathbf{e}_\varphi = \begin{pmatrix}

    -\sin\varphi\\
    \cos\varphi\\
    0
  \end{pmatrix}</math>

Diese Basisvektoren bilden in der Reihenfolge <math>\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\theta, \mathbf{e}_\varphi </math> ein Rechtssystem.

Die zugehörigen Richtungen werden auch radial, meridional“ und azimutal genannt. Diese Begriffe spielen nicht nur in der Astronomie und den Geowissenschaften (z.B. Geographie, Geologie oder Geophysik) eine zentrale Rolle, sondern auch in Mathematik, Physik und verschiedenen Ingenieurwissenschaften, etwa bei der Ausstrahlung von elektromagnetischen Wellen („Hertzscher Dipol“) durch eine in z-Richtung aufgespannte Antenne, wo die Ausstrahlung in radialer Richtung erfolgt, während elektrisches bzw. magnetisches Feld in meridionaler bzw. azimutaler Richtung schwingen.

Mithilfe der oben eingeführten Rotationsmatrix <math>S</math> lassen sich die Transformationen auch kompakt darstellen:

<math>(\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi)

    =(\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z) \cdot S</math> .

In die Gegenrichtung lauten die Gleichungen dann:

<math>(\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z)

    =(\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi)\cdot S^T</math>.

(Dabei wird verwendet, dass <math>S</math> orthogonal ist und deshalb <math>S^{-1}=S^T</math>.)

Transformation eines Vektorfeldes

Ein Vektor, als ein geometrisches Objekt, muss vom Koordinatensystem unabhängig sein:

<math>A_x\mathbf{e}_x + A_y\mathbf{e}_y + A_z\mathbf{e}_z = \mathbf{A}

     =A_r\mathbf{e}_r + A_\theta\mathbf{e}_\theta + A_\varphi\mathbf{e}_\varphi.</math>

Diese Bedingung wird erfüllt durch

<math>

 \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}
    =S \cdot \begin{pmatrix} A_r \\ A_\theta \\ A_\varphi \end{pmatrix}

</math>   beziehungsweise   <math>

 \begin{pmatrix} A_r \\ A_\theta \\ A_\varphi \end{pmatrix}
    =S^T \cdot \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}

</math>.

Transformation der partiellen Ableitungen

Die partiellen Ableitungen transformieren sich wie die Basisvektoren, aber ohne Normierung. Man kann genau wie oben rechnen, nur lässt man den Punkt P im Zähler weg (tatsächlich werden in der modernen Formulierung der Differentialgeometrie die Koordinatenbasisvektoren des Tangentialraums und die partiellen Ableitungen gleichgesetzt) und verwendet die Jacobi-Matrix J=Sh anstelle der Rotationsmatrix S. Die Transformation lautet also:

<math>

\left(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial\theta},\frac{\partial}{\partial\varphi} \right)
 =
\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot J
</math>,

und in die Gegenrichtung

<math>

\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)
 =
\left(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial\theta},\frac{\partial}{\partial\varphi} \right) \cdot J^{-1}
</math>.

Transformation des Nabla-Operators

Der Nabla-Operator <math>\nabla</math> hat nur in kartesischen Koordinaten die einfache Form

<math>\mathbf{\nabla}

 = \mathbf{e}_x\frac{\partial}{\partial x}
  +\mathbf{e}_y\frac{\partial}{\partial y}
  +\mathbf{e}_z\frac{\partial}{\partial z}</math>.

Sowohl die partiellen Ableitungen als auch die Einheitsvektoren muss man in der oben hergeleiteten Weise transformieren. Man findet:

<math>\mathbf{\nabla}

 =\mathbf{e}_r\frac{\partial}{\partial r} 
  + \mathbf{e}_\theta\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}
  + \mathbf{e}_\varphi\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}</math>.

In dieser Form kann der transformierte Nabla-Operator unmittelbar angewandt werden, um den Gradienten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Skalarfeldes zu berechnen.

Um die Divergenz eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen, ist hingegen zu berücksichtigen, dass <math>\nabla</math> nicht nur auf die Koeffizienten <math>A_r, A_\theta, A_\varphi</math> wirkt, sondern auch auf die in A implizit enthaltenen Basisvektoren <math>\mathbf e_r, \mathbf e_\theta, \mathbf e_\varphi</math>

<math>\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 A_r)

 + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta A_\theta)
 +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}A_\varphi.</math>

Um die Rotation eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen, ist dasselbe zu berücksichtigen:

<math>

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}= {1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} ( A_\varphi\sin\theta )
   - {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \mathbf{e}_r  + 
 {1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi} 
   - {\partial \over \partial r} ( r A_\varphi ) \right) \mathbf{e}_\theta  + 
 {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} ( r A_\theta )
   - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \mathbf{e}_\varphi  </math>

Transformation des Laplace-Operators

Wenn man in der Divergenzformel als Vektorfeld A den Gradientenoperator <math>\nabla</math> einsetzt, findet man den Laplace-Operator

<math>\mathbf{\Delta}=\mathbf{\nabla}^2 =

   \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right)
 + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta} \right)
 +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} </math>.

bzw.

<math>\mathbf{\Delta} =

   \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} 
 + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta} 
 +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} </math>.

Verallgemeinerung auf n-dimensionale Kugelkoordinaten

Eine Verallgemeinerung der Kugelkoordinaten auf <math>n</math> Dimensionen:

<math>

\begin{align} x_1 & =r\cos(\phi_1)\\ x_2 & =r\sin(\phi_1)\cos(\phi_2)\\ x_3 & =r\sin(\phi_1)\sin(\phi_2)\cos(\phi_3)\\ & {}\,\,\, \vdots\\ x_{n-1} & =r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\cos(\phi_{n-1})\\ x_n & =r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\sin(\phi_{n-1}) \end{align} </math>

Die Winkel entwickeln sich nach:

<math>

\begin{align} \tan(\phi_{n-1}) & =\frac{x_{n}}{x_{n-1}} \\ \tan(\phi_{n-2})& =\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}{x_{n-2}} \\ & {}\,\,\,\vdots\\ \tan(\phi_1) & =\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots+{x_2}^2}}{x_{1}} \end{align} </math>

Durch Umnummerierung erhält man eine Rekursionsformel für die Winkel:

<math>

\begin{align} x_n & =r\cos(\phi_{n-1})\\ x_{n-1} & =r\sin(\phi_{n-1})\cos(\phi_{n-2})\\ x_{n-2} & =r\sin(\phi_{n-1})\sin(\phi_{n-2})\cos(\phi_{n-3})\\ & {}\,\,\, \vdots\\ x_{2} & =r\sin(\phi_{n-1})\cdots\sin(\phi_{2})\cos(\phi_{1})\\ x_1 & =r\sin(\phi_{n-1})\cdots\sin(\phi_{2})\sin(\phi_{1}) \end{align} </math>

Woraus sich die folgenden Winkel ergeben:

<math>

\left\Vert\vec L_k\right\Vert=\sgn(x_k)\sqrt{x_k^2+\left\Vert\vec L_{k-1}\right\Vert^2}=\frac{x_k}{\left\Vert x_k\right\Vert}\sqrt{x_k^2+\left\Vert\vec L_{k-1}\right\Vert^2} </math> mit <math>\left\Vert\vec L_0\right\Vert=0</math> und

<math>

\tan(\phi_k)=\frac{\sqrt{x_k^2+\left\Vert\vec L_{k-1}\right\Vert^2}}{x_{k+1}}=\frac{\left\Vert\vec L_k\right\Vert}{x_{k+1}} </math>

Der Radius ist:

<math>r=\left\Vert\vec L_n\right\Vert</math>

Eine Fallunterscheidung liefert mittels Arkustangens den passenden Winkel zur gegebenen kartesischen Koordinate, wobei <math>\arctan(\pm \, \infty) = \pm \, \tfrac{\pi}{2}</math>:

<math>\begin{align}

\phi_k=\begin{cases}

 \arctan\left(\frac{\left\Vert\vec L_k\right\Vert}{x_{k+1}}\right)+\pi, & \text{(1) wenn: }x_{k+1}<0 \; \land \; k = n-1  \\
 \arctan\left(\frac{\left\Vert\vec L_k\right\Vert}{x_{k+1}}\right),  & \text{(2) wenn: }  \text{nicht (1)} \land \; \text{nicht (3)} \\ 
 0 ,  & \text{(3) wenn: }x_{k+1}=\left\Vert\vec L_k\right\Vert=0\\

\end{cases} \end{align}</math>

Dabei fällt auf, dass <math> \begin{align} \vec L_k \end{align} </math> immer ein zweidimensionaler Vektor ist für <math> \begin{align} k>0 \end{align} </math> .

Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix der Kugelkoordinaten lautet bezüglich der als oberes gegebenen Nummerierung:

<math>

J = \left(

\begin{matrix}
 \cos(\phi_1) & -r \sin(\phi_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
 \sin(\phi_1) \cos(\phi_2) & r \cos(\phi_1) \cos(\phi_2) & -r \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) & 0 & \cdots & 0 \\
 \vdots  & \vdots  & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
 \vdots  & \vdots  & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
 \sin(\phi_1) \cdots \sin(\phi_{n-2}) \cos(\phi_{n-1}) & r \cos(\phi_1) \cdots \sin(\phi_{n-2}) \cos(\phi_{n-1}) & \cdots & \cdots & \cdots & -r \sin(\phi_1) \cdots \sin(\phi_{n-2}) \sin(\phi_{n-1}) \\
 \sin(\phi_1) \cdots \sin(\phi_{n-2}) \sin(\phi_{n-1}) & r \cos(\phi_1) \cdots \sin(\phi_{n-2}) \sin(\phi_{n-1}) & \cdots & \cdots & \cdots & r \sin(\phi_1) \cdots \sin(\phi_{n-2}) \cos(\phi_{n-1})
\end{matrix} \right)

</math>

Ihre Determinante beträgt:

<math>\det J = r^{n-1}\sin(\phi_1)^{n-2}\sin(\phi_2)^{n-3}\cdots \sin(\phi_{n-2})</math>

Beispiel

Zuordnung am Beispiel <math>n=3</math> mit den geläufigen Koordinatenachsen <math>x,y, z</math>:

<math>

\begin{align} x_3&=z= r\cos(\phi_{2})\\ x_2&=x= r\sin(\phi_{2})\cos(\phi_{1})\\ x_1&=y= r\sin(\phi_{2})\sin(\phi_{1})\\ \end{align} </math>

Die Winkel sind dann:

<math>

\begin{align} \tan(\phi_{2})=\frac{\left\Vert\vec L_2\right\Vert}{x_{3}}&= \frac{\sqrt{x_2^2 + x_1^2} }{x_3} =\frac{\sqrt{x^2 + y^2} }{z} \\ \tan(\phi_{1})=\frac{\left\Vert\vec L_1\right\Vert}{x_{2}}&= \frac{\sqrt{x_1^2} }{x_2} =\frac{y }{x} \end{align} </math>

Weblinks

• Matroids Matheplanet: Einführung in die Vektoranalysis (als PDF) von Eckard Specht

Einzelnachweise

<references/>fi:Koordinaatisto#Pallokoordinaatisto it:Sistema di riferimento#Il sistema sferico