Referenzellipsoid

Für die Berechnung von <math>\varphi</math> muss auf Näherungsverfahren zurückgegriffen werden. Aufgrund der Rotationssymmetrie wird das Problem in die X-Z-Ebene verlegt (<math>\lambda=0</math>). Für den allgemeinen Fall wird dann X durch <math>\sqrt{X^2+Y^2}</math> ersetzt.

Das Lot des gesuchten Punktes <math>(X,Z)</math> auf die Ellipse hat den Anstieg <math>\tan\varphi</math>. Das verlängerte Lot geht durch den Mittelpunkt M des Krümmungskreises, welcher die Ellipse im Lotfußpunkt berührt. Die Koordinaten des Mittelpunktes lauten

<math>\begin{pmatrix}X_M\\ Z_M\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\varepsilon^2 a \cos^3 t\\ - {\tilde \varepsilon}^2 b \sin^3 t\end{pmatrix}</math>

mit

<math>t</math> - parametrische Breite, d. h., Punkte auf der Ellipse sind durch <math>\left(\begin{smallmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{smallmatrix}\right)</math> beschrieben

<math>\tilde \varepsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{b}</math>

Damit gilt

<math>\tan\varphi = \frac{Z+{\tilde\varepsilon}^2 \sin^3 t}{X - \varepsilon^2 \cos^3 t}</math>

Dies ist eine Iterationslösung, da <math>\varphi</math> und <math>t</math> über <math>\tan \varphi = \frac{a}{b} \tan t</math> in Beziehung stehen. Ein naheliegender Anfangswert wäre

<math>\tan t_0=\frac{a}{b} \frac{Z}{X}</math>

Mit dieser Wahl erreicht man nach einem Iterationsschritt eine Genauigkeit von <math>\Delta\varphi \approx \frac{3}{2} \varepsilon^3 \frac{a h^2}{(a+h)^3} \sin^3\varphi \cos^3\varphi</math>.<ref>Bowring: Transformation from Spatial to Geographical coordinates (Survey Review, Vol. 23)</ref> Das heißt, auf der Erdoberfläche ergibt sich für <math>\varphi</math> ein maximaler Fehler von 0,00000003″ und das globale Maximum des Fehlers (bei <math>h=2a</math>) beträgt 0,0018″.

Bei günstiger Wahl von <math>t_0</math> kann auch der maximale Fehler für Punkte im Weltraum noch weiter reduziert werden. Mit

<math>\tan t_0=\frac{b}{a}\frac{Z}{X}\left(1 + \tilde{\varepsilon} \frac{b}{\sqrt{X^2+Z^2}}\right)</math>

ist durch einmaliges Einsetzen in die Iterationsformel der Winkel <math>\varphi</math> (für die Parameter der Erde) auf 0,0000001″ genau bestimmt (unabhängig vom Wert von h).

Wichtige Referenzellipsoide

Die Form und Größe der in verschiedenen Regionen verwendeten Ellipsoide werden im Allgemeinen durch ihre große Halbachse <math>a</math> und die Abplattung <math>f</math> (engl. flattening) festgelegt. Ferner ist noch jener zentral gelegene „Fundamentalpunkt“ zu definieren, auf dem das Referenzellipsoid das Geoid berührt und ihm damit eine unzweideutige Höhenlage gibt. Beide Festlegungen zusammen werden „geodätisches Datum“ genannt.

Auch wenn zwei Länder dasselbe Ellipsoid verwenden (z. B. Deutschland und Österreich das Bessel-Ellipsoid), unterscheiden sie sich doch in diesem Zentralpunkt bzw. Fundamentalpunkt. Daher können sich die Koordinaten der gemeinsamen Grenzpunkte um bis zu einem Kilometer unterscheiden.

Die Achsen der Ellipsoide sind je nach der Region, aus deren Messungen sie bestimmt wurden, um bis zu 0,01 % verschieden. Die Genauigkeitssteigerung bei der Bestimmung der Abplattung <math> f=(a-b)/a </math> (Differenz der Ellipsoid-Achsen rund 21 km) hängt mit dem Start der ersten künstlichen Satelliten zusammen. Diese zeigten sehr deutliche Bahnstörungen bzgl. der Bahnen, die man vorausberechnet hatte. Anhand der Fehler konnte man zurückrechnen und die Abplattung genauer bestimmen.

Die Tabelle zeigt regionale Ellipsoide 1810 bis 1906 und global bestimmte Erdellipsoide von 1924 bis 1984 und die Entwicklung der Kenntnis vom mittleren Äquatorradius und der Erdabplattung.

Das Bessel-Ellipsoid ist für Eurasien ideal angepasst, sodass sein „800-m-Fehler“ für die Geodäsie Europas günstig ist – ähnlich wie die gegenteiligen 200 m des Hayford-Ellipsoids (nach John Fillmore Hayford) für Amerika.

Für viele Staaten Mitteleuropas ist das Bessel-Ellipsoid wichtig, ferner die Ellipsoide von Hayford und Krassowski (Schreibweise uneinheitlich), und für GPS-Vermessungen das WGS84.

Die Resultate von Delambre und von Schmidt sind Pionierarbeiten und beruhen auf nur begrenzten Messungen. Hingegen entsteht der große Unterschied zwischen Everest (Asien) und Hayford (Amerika) durch die geologisch bedingte Geoid-Krümmung verschiedener Kontinente. Einen Teil dieses Effekts konnte Hayford durch mathematische Reduktion der Isostasie eliminieren, sodass man dessen Werte damals für besser hielt als die europäischen Vergleichswerte.

Literatur

• Wolfgang Torge: Geodesy. 3. completely revised and extended edition. De Gruyter-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-11-017072-8.
• J. Ihde et al.: European Spatial Reference Systems – Frames for Geoinformation Systems (PDF).

Weblinks

• Kartenbezugssysteme, Ellipsoide, Geoide und topografische Oberflächen
• MapRef – Europäische Referenzsysteme und Kartenprojektionen
• CRS-EU - Information and Service System for European Coordinate Reference Systems.
• http://www.euref-iag.net/euref_links.html - EUREF-Links zu weiteren geodätischen Informationen
• http://www.epsg-registry.org/ - Datenbank zu Referenzsystemen und Koordinatentransformationsparametern

Einzelnachweise

<references />