Wiensches Verschiebungsgesetz

Das nach Wilhelm Wien benannte wiensche Verschiebungsgesetz gibt an, bei welcher Wellenlänge <math>\lambda_\mathrm{max}</math> bzw. Frequenz <math>\nu_\mathrm{max}</math> ein schwarzer Körper je nach seiner Temperatur die größte Strahlungsleistung abgibt oder die größte Photonenrate aufweist.

Allgemeines

Die von einem schwarzen Körper abgegebene Wärmestrahlung ist ein Gemisch elektromagnetischer Wellen aus einem breiten Wellenlängenbereich. Die Verteilung der Strahlungsintensität auf die einzelnen Wellenlängen wird durch das plancksche Strahlungsgesetz beschrieben. Sie weist ein deutliches Maximum auf, dessen Lage mit dem wienschen Verschiebungsgesetz berechnet werden kann.

Insbesondere gilt: Je höher die Temperatur eines Körpers ist, bei desto kürzeren Wellenlängen liegt das Maximum der Verteilung. Daher gibt zum Beispiel Stahl bei Raumtemperatur unsichtbare infrarote Strahlung („Wärmestrahlung“) ab, warmer glühender Stahl leuchtet dunkelrot, heißer flüssiger Stahl glüht fast weiß.

Die gebräuchlichste Formulierung des Verschiebungsgesetzes lautet:

<math>\lambda_\mathrm{max} = \frac{2897{,}8 \, \mathrm{\mu m \cdot \mathrm{K}}}{T}</math>

• <math>\lambda_\mathrm{max}</math>: Wellenlänge, bei der die Intensität pro Wellenlängenintervall maximal ist
• <math>T</math>: absolute Temperatur der strahlenden Fläche

Die Frequenz von Wellen dieser Wellenlänge <math>\lambda_\mathrm{max}</math> ist nicht die Frequenz <math>\nu_\mathrm{max}</math>, bei der die Intensität pro Frequenzintervall maximal ist. Zwei weitere Maximumstellen ergeben sich, wenn man statt der Intensität die Photonenrate betrachtet. Es gibt kein „objektives“ Maximum.

Andere die Strahlung des schwarzen Körpers betreffende Gesetze sind das plancksche Strahlungsgesetz, das Stefan-Boltzmann-Gesetz, das wiensche Strahlungsgesetz und das Rayleigh-Jeans-Gesetz. Näherungsweise gelten diese Gesetze oft auch für die von nicht-schwarzen Strahlern abgegebene Wärmestrahlung.

Maximale Strahlungsleistung

Wellenlängendarstellung

Die spektrale spezifische Ausstrahlung eines schwarzen Körpers der Temperatur <math>T</math> wird durch das Plancksche Strahlungsgesetz beschrieben und lautet in der Wellenlängendarstellung:

<math>M^o_{\lambda}(\lambda, T) = \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}</math>

Gesucht ist die Wellenlänge <math>\lambda_\mathrm{max}</math>, bei welcher diese Funktion das Maximum annimmt. Nullsetzen der Ableitung nach <math>\lambda</math> liefert:<ref name="Kraus2004"> Helmut Kraus: Die Atmosphäre der Erde: Eine Einführung in die Meteorologie. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20656-9, S. 101 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).</ref>

<math>\frac{hc}{\lambda kT} \cdot \frac{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1} - 5=\frac{hc}{\lambda kT} \cdot \frac{1}{1-e^{-\frac{hc}{\lambda kT}}} - 5=0</math>.

Die Substitution <math>x := \frac{hc}{\lambda kT}</math> vereinfacht den Ausdruck zu:<ref name="Kraus2004" />

<math>\frac{x}{1-e^{-x}}-5 = 0</math>.

Die numerische Lösung ergibt

<math>x = 4{,}9651142317\dots</math>,<ref name="TatumS5">vgl.:J. B. Tatum: Stellar Atmospheres. Chapter2: Blackbody Radiation. In: On-line lecture notes. S. 5 PDF 217 KB, Abgerufen am 12. Juni 2007.</ref>

und die Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz in der Wellenlängendarstellung:

<math>\lambda_\mathrm{max} = \frac{hc}{xkT} =: \frac{b}{T} = \frac{2897{,}8\,\mathrm{\mu m \, K}}{T}</math>

Die Wellenlänge maximaler Strahlungsleistung verschiebt sich also bei einer Temperaturänderung einfach umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur des schwarzen Strahlers: Verdoppelt sich die Temperatur des Strahlers, so tritt die größte Strahlungsleistung bei der halben Wellenlänge auf.

Die Konstante <math>b = 2897{,}8\,\mathrm{\mu m \, K}</math> wird auch als wiensche Verschiebungskonstante bezeichnet. Ihr Wert beträgt nach derzeitiger Messgenauigkeit:<ref>Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 7. August 2015.  Wert für <math>b</math></ref>

<math>(2897{,}7729 \pm 0{,}0017)\,\mathrm{\mu m \, K}\ </math>.

Die spektrale spezifische Ausstrahlung des Maximums ist proportional zu <math>T^5</math>:

<math>M^o_{\lambda}(\lambda_\mathrm{max}, T) = \frac{2 \pi \, x^5 k^5}{h^4 c^3} \frac{1}{e^{x}-1} \cdot T^5</math>.<ref name="TatumS6">J. B. Tatum: Stellar Atmospheres. Chapter2: Blackbody Radiation. In: On-line lecture notes. S. 6 PDF 217 KB, Abgerufen am 12. Juni 2007.</ref>

Frequenzdarstellung

In der Frequenzdarstellung ist die spektrale spezifische Ausstrahlung gegeben durch

<math>M^o_{\nu}(\nu, T) = \frac{2 \pi h\nu^{3}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}</math>.

Nullsetzen der Ableitung nach der Frequenz <math>\nu</math> liefert:

<math>3 - \frac{h\nu}{kT}\frac{1}{1-e^{\left(-\frac{h\nu}{kT}\right)}} = 0</math>.

Die Substitution <math>\tilde x := \frac{h\nu}{kT}</math> vereinfacht den Ausdruck zu <math>3 - \frac{\tilde x}{1-e^{- \tilde x}} = 0</math>.

Die numerische Lösung ergibt

<math>\tilde x = 2{,}8214393721\dots</math><ref name="TatumS5" />,

und Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz in der Frequenzdarstellung:

<math>\nu_\mathrm{max} = \frac{\tilde x k T}{h} = 5{,}878933 \cdot 10^{10} \,\mathrm{Hz \, K^{-1}} \cdot T</math>

Die Frequenz maximaler Strahlungsleistung verschiebt sich also proportional zur absoluten Temperatur des Strahlers. Der empfohlene Wert der wienschen Konstanten in der Frequenzdarstellung beträgt:<ref>Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 21. Juni 2011.  Wert für <math>b</math> in der Einheit Hz pro Kelvin</ref>

<math>(5{,}878\,9254\pm0{,}000\,0053)\cdot 10^{10} \,\mathrm{Hz/K}</math>.

Die spektrale spezifische Ausstrahlung des Maximums ist proportional zu <math>T^3</math>:

<math>M^o_{\nu}(\nu_\mathrm{max}, T) = \frac{2 \pi \, \tilde x^3 k^3}{h^2 c^2} \frac{1}{e^{\tilde x}-1} \cdot T^3</math>.<ref name="TatumS6" />

Unterschiedliche Maxima in beiden Darstellungen

Man beachte, dass wegen der nichtlinearen Umrechnung zwischen Wellenlängen- und Frequenzintervallen nicht die folgende Gleichung:

<math>{\color{red}\mathbf{falsch:}} \qquad \nu_\mathrm{max} = \frac{c}{\lambda_\mathrm{max}}</math>

<math>{\color{blue}\mathbf{Grund:}} \qquad P(\nu_\mathrm{max},T) d\nu = \underbrace{P(\nu_\mathrm{max},T) \frac{d\nu}{d\lambda}}_{P(\lambda_\mathrm{max},T)} d\lambda</math>

sondern folgende Gleichung gilt:

<math>\nu_{\rm max} = \frac{\tilde x}{x} \cdot \frac{c}{\lambda_{\rm max}} \approx 0{,}568 \cdot \frac{c}{\lambda_{\rm max}}</math>.

Beispiel: Die Punkte im nebenstehenden Diagramm folgen einer Planckverteilung (für T = 600 K). Eingezeichnet sind auch Frequenzintervalle konstanter Breite (jeweils 10 THz) und Wellenlängenintervalle konstanter Breite (jeweils 1 µm). Für jedes Intervall ist die Anzahl der darin enthaltenen Punkte angegeben. Wie sofort zu sehen ist, enthält das Frequenzintervall zwischen 30 und 40 THz mehr Punkte als jedes andere Frequenzintervall (13), während das Wellenlängenintervall zwischen 4 und 5 µm mehr Punkte enthält als jedes andere Wellenlängenintervall (10). Rechnet man jedoch die Frequenz, bei der das Maximum auftritt, in die entsprechende Wellenlänge um, so erhält man nicht jene Wellenlänge, bei welcher das Maximum auftritt, wenn die Wellenlängenintervalle betrachtet werden.

Trägt man das Diagramm einmal gegen eine lineare Frequenzachse und einmal gegen eine lineare Wellenlängenachse auf, so ist auch optisch erkennbar, wie sich die Punkte in jeweils unterschiedlichen Bereichen der Achse zusammendrängen. Es gibt kein „objektives“ Maximum.

Maximale Photonenrate

Wellenlängendarstellung

Die spektrale spezifische Ausstrahlung, ausgedrückt durch die Abstrahlungsrate der Photonen, ist in der Wellenlängendarstellung gegeben durch

<math>\tilde M^o_{\lambda}(\lambda, T) = \frac{2 \pi c}{\lambda^4} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}</math>.

Nullsetzen der Ableitung nach <math>\lambda</math> liefert:

<math>\frac{hc}{\lambda kT} \cdot \frac{1}{1-e^{- \frac{hc}{\lambda kT}}} - 4 = 0</math>.

Die Substitution <math>x := \frac{hc}{\lambda kT}</math> vereinfacht den Ausdruck zu <math>\frac{x}{1-e^{-x}}-4 = 0</math>.

Die numerische Lösung ergibt

<math>\hat x = 3{,}9206903948\dots</math><ref name="TatumS5" />,

und Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz für die Photonenrate in der Wellenlängendarstellung:

<math>\lambda_{\rm max} = \frac{hc}{\hat xkT} = \frac{3669{,}7\,\mathrm{\mu m \, K}}{T}</math>

Die spektrale Photonenrate des Maximums ist proportional zu <math>T^4</math>.

Frequenzdarstellung

In der Frequenzdarstellung ist die spektrale spezifische Ausstrahlung, ausgedrückt durch die Abstrahlungsrate der Photonen, gegeben durch

<math>\tilde M^o_{\nu}(\nu, T) = \frac{2 \pi \nu^{2}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}</math>.

<math>2 - \frac{h\nu}{kT}\,\frac{1}{1-e^{-~\frac{h\nu}{kT}}} = 0</math>.

Die Substitution <math>\check x := \frac{h\nu}{kT}</math> vereinfacht den Ausdruck zu <math>2 - \frac{\check x}{1-e^{- \check x}} = 0</math>.

Die numerische Lösung ergibt

<math>\check x = 1{,}5936242600\dots</math><ref name="TatumS5" />,

und Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz für die Photonenrate in der Frequenzdarstellung:

<math>\nu_{\rm max} = \frac{\check x k T}{h} = 3{,}320578 \cdot 10^{10} \,\mathrm{Hz \, K^{-1}} \cdot T</math>

Die spektrale Photonenrate des Maximums ist proportional zu <math>T^2</math>.

Anwendungsbeispiele

Nimmt man für die Sonne λ_max ≈ 500 nm an und betrachtet sie näherungsweise als schwarzen Strahler, so ergibt sich nach dem wienschen Verschiebungsgesetz ihre Oberflächentemperatur zu ca. 5800 K. Die auf diese Weise ermittelte Temperatur heißt wiensche Temperatur. Man vergleiche sie auch mit der über das Stefan-Boltzmann-Gesetz ermittelten Effektivtemperatur von 5777 K. Der Unterschied rührt daher, dass die den beiden Berechnungen zugrunde gelegte Annahme, die Sonne sei ein schwarzer Strahler, zwar in guter Näherung aber nicht perfekt erfüllt ist.

Glühfarben geben Aufschluss über die Temperatur heißer (über ca. 500 °C), glühender Materialien.

Andere Beispiele sind die strahlende Erdoberfläche und die Treibhausgase. Bei den Temperaturen im Bereich von 0 °C liegt das Strahlungsmaximum im infraroten Bereich um 10 μm. Bei den Treibhausgasen kommt dazu, dass sie nur teilweise (selektive) schwarze Körper sind.

Geschichte

Aufgrund der experimentellen Untersuchungen von Josef Stefan und der thermodynamischen Herleitung durch Ludwig Boltzmann war bekannt, dass die von einem schwarzen Körper mit der absoluten Temperatur T thermisch emittierte Strahlungsleistung mit der vierten Potenz der Temperatur ansteigt (Hauptartikel: Stefan-Boltzmann-Gesetz). Die Verteilung der Strahlungsenergie auf die verschiedenen ausgesandten Wellenlängen war jedoch noch unbekannt.

Wien konnte aufgrund thermodynamischer Überlegungen sein Verschiebungsgesetz ableiten, welches einen Zusammenhang zwischen den Wellenlängenverteilungen bei verschiedenen Temperaturen herstellte:

Damit war die reale Wellenlängenverteilung der Schwarzkörper-Strahlung zwar immer noch unbekannt, aber es war eine zusätzliche Bedingung gefunden, welcher sie bei einer Temperaturänderung unterliegen musste. Unter Zuhilfenahme einiger zusätzlicher Annahmen konnte Wien ein Strahlungsgesetz ableiten, welches sich bei Temperaturänderungen in der Tat so verhält wie vom Verschiebungsgesetz gefordert. Der Vergleich mit dem Experiment zeigte jedoch, dass dieses wiensche Strahlungsgesetz im langwelligen Bereich zu niedrige Werte liefert.

Max Planck konnte schließlich durch eine geschickte Interpolation zwischen dem Rayleigh-Jeans-Gesetz (korrekt für große Wellenlängen) und dem wienschen Strahlungsgesetz (korrekt für kleine Wellenlängen) das plancksche Strahlungsgesetz ableiten, das die emittierte Strahlung in allen Wellenlängenbereichen korrekt wiedergibt.

Heutzutage spielt die allgemeine Form des wienschen Verschiebungsgesetzes keine Rolle mehr, weil das plancksche Strahlungsgesetz die spektrale Verschiebung bei Temperaturänderung ganz konkret beschreibt. Lediglich die temperaturbedingte Verschiebung des Strahlungsmaximums, deren Gesetzmäßigkeit bereits aus dem wienschen Verschiebungsgesetz ableitbar ist, hat unter dem Namen wiensches Verschiebungsgesetz überlebt.

Weblinks

• Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatHarald Greier: Plancksches Gesetz – Der „Schwarze Körper“. Kurz und bündig – Kleiner Abriss zu Hohlraumstrahlung & Fotoeffekt. 2006, abgerufen am 16. Mai 2009. 
• Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatMichael Komma: Die Plancksche Strahlungsformel. Abgerufen am 16. Mai 2009 (Planck zwischen Wien und Rayleigh/Jeans mit Maple). 
• Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatVorlage:Internetquelle/Wartung/Datum nicht im ISO-FormatUwe Schimpf: Wärmestrahlung. In: Fourieranalyse mikroskaliger Temperaturfluktuationen der Wasseroberfläche. Mai 1996, abgerufen am 16. Mai 2009 (Diplomarbeit). 
• Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatFundamental Physical Constants --- Complete Listing. NIST, abgerufen am 16. Mai 2009. 
• Hilke Stümpel: Lernmodul „Physik der Wärmestrahlung“. Strahlungshaushalt. In: WEBGEO basics / Klimatologie. Institut für Physische Geographie (IPG) der Universität Freiburg, abgerufen am 14. Dezember 2010. 
• Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatMichael Gaedtke: Das Wiensche Verschiebungsgesetz - Herleitung Schritt für Schritt. Abgerufen am 8. November 2014 (Herleitung aus der Planckschen Strahlungsformel). 

Einzelnachweise

<references />