Äquinoktium

Äquinoktium (von lat. aequus „gleich“ und nox „Nacht“) oder Tagundnachtgleiche (auch Tag-und-Nacht-Gleiche) werden die beiden Tage im Jahr genannt, an denen der lichte Tag und die Nacht gleich lange dauern. Die Tagundnachtgleichen fallen auf den 20. oder 21. März und den 22. oder 23. September. Sie markieren den kalendarischen Anfang der astronomisch definierten Jahreszeiten Frühling und Herbst.

In der Astronomie wird das Datum eines Äquinoktiums über die Einheit Tag hinaus näher bestimmt und als sekundengenauer Zeitpunkt angegeben. Dabei handelt es sich um jenen Moment, zu dem die Sonne den Himmelsäquator im Frühlings- beziehungsweise im Herbstpunkt passiert, und mit dem der Beginn dieser Jahreszeiten dann astronomisch definiert ist.

Sowohl diese genauen Zeitpunkte als auch die jeweiligen Lagen des passierten Frühlings- bzw. Herbstpunkts heißen abgekürzt ebenfalls Äquinoktien.

Begriffsbestimmungen

Als Äquinoktium werden auf die Nordhalbkugel der Erde bezogen folgende Sachverhalte bezeichnet:

Zeitpunkte

• Eine Tagundnachtgleiche – der Kalendertag, an dem die Sonne den Erdäquator überquert und damit Frühling oder Herbst anfangen
  • Primaräquinoktium: Querung von Süden her nach Norden, Frühlingsanfang
  • Sekundaräquinoktium: Querung von Norden nach Süden hin, Herbstanfang
• Ein wahres Äquinoktium – zu einer Tagundnachtgleiche der exakte Zeitpunkt, in dem die Sonne den Himmelsäquator quert, und damit der genaue Beginn der astronomischen Jahreszeiten Frühling und Herbst
  • Frühlingsäquinoktium: exakter Zeitpunkt des Frühlingsanfangs, um den 20./21. März
  • Herbstäquinoktium: exakter Zeitpunkt des Herbstanfangs, um den 22./23. September

Orte am Himmel

• Ein Äquinoktialpunkt – der Punkt auf der Ekliptik, an dem sich die Sonne bei wahrem Äquinoktium befindet:
  • Frühlingspunkt und
  • Herbstpunkt
• Ein mittlerer Äquinoktialpunkt – der Punkt auf der Ekliptik, an dem sich die Sonne im langjährigen Mittel bei wahrem Äquinoktium befindet:
  • Widderpunkt und
  • Waagepunkt.

Tagundnachtgleichen als Jahresanfang und bestimmendes Datum für religiöse Feste

In einigen Kalendersystemen ist die Frühlingsgleiche der Jahresbeginn und eines der zentralen Feste des Jahres, so als Nouruz (wörtlich „Neulicht“) des astronomisch-solaren iranischen Kalenders und des Bahai-Kalenders. Rosch ha-Schana, der jüdische Neujahrstag, ist nicht identisch mit der Herbstgleiche, ist aber davon abhängig (vorher bis nachher). Analog verhält es sich mit dem jüdischen Pessachfest und dem christlichen Ostern, die immer nach der Frühlingsgleiche stattfinden.

Äquinoktium als Jahreszeitenbeginn

Astronomischer Beginn des Frühlings und des Herbstes, wahres Äquinoktium

Die genaue Definition lautet:<ref>J. Meeus: Astronomical Algorithms. 27. Kapitel. 2. Aufl. Willmann-Bell, Richmond 2000. ISBN 0-943396-61-1.</ref>

Die Äquinoktien sind die Zeitpunkte, zu denen die scheinbare geozentrische ekliptikale Länge der Sonne 0° respektive 180° beträgt.

• Scheinbar heißt: unter Berücksichtigung von Aberration und Nutation.
• Geozentrisch heißt: von einem (hypothetischen) Beobachter im Erdmittelpunkt aus gesehen.

Die Definition ist also unabhängig vom Standort eines realen Beobachters; die Äquinoktien treten weltweit zum selben Zeitpunkt ein (der aber in verschiedenen Zeitzonen verschiedenen Uhrzeiten entspricht).

Diese Zeitpunkte fallen bis auf wenige Sekunden mit den Zeitpunkten zusammen, in denen der Mittelpunkt der Sonnenscheibe den Himmelsäquator durchquert, in denen die Sonne also von der südlichen zur nördlichen Himmelshälfte (ekliptikale Länge 0°) oder von der nördlichen zur südlichen Himmelshälfte (ekliptikale Länge 180°) überwechselt. Die Zeitdifferenz resultiert aus dem Umstand, dass es ja eigentlich der Schwerpunkt des Erde-Mond-Systems ist, der sich in der mittleren Erdbahnebene um die Sonne bewegt, während die Erde selbst diesen Schwerpunkt umkreist („wahre Erdbahn“) und sich somit – da die Bahnebene des Erde-Mond-Systems gegenüber der Erdbahnebene leicht geneigt ist – in der Regel etwas oberhalb oder unterhalb dieser Ebene befindet. Vom geozentrischen Beobachter aus gesehen läuft daher die Sonne nicht exakt auf der Ekliptik (und hat eine ekliptikale Breite ungleich Null). Sie passiert auch nicht exakt den Frühlings- bzw. Herbstpunkt und überquert den Äquator bevor oder nachdem sie die ekliptikale Länge dieser Punkte erreicht hat. Dieser Zeitunterschied macht einige Sekunden aus.

Weil die durchschnittliche Dauer eines Umlaufs der Erde um die Sonne bezogen auf den Frühlingspunkt (tropisches Jahr) mit etwa 365,2422 Tagen knapp sechs Stunden länger ist als die Dauer des kalendarischen Gemeinjahres mit genau 365 Tagen, verschiebt sich das kalendarisch angegebene Datum der Äquinoktien von einem Gemeinjahr zum nächsten auf eine um etwa sechs Stunden spätere Uhrzeit. Mit der Einfügung des 29. Februars in einem Schaltjahr ergibt sich eine im Vergleich zum Vorjahr um etwa 18 Stunden frühere Uhrzeit für den Äquinoktialzeitpunkt. Die folgenden Angaben<ref>Jahreszeitentabelle des USNO. (Memento vom 8. Oktober 2015 im Internet Archive). Bei: usno.navy.mil. Abgerufen am 23. September 2014.</ref> der Äquinoktien sind auf Minuten gerundet (zum Beginn der vier Jahreszeiten siehe auch Tabelle im Artikel Jahreszeiten).

Tagundnachtgleichen

Die Tagundnachtgleichen sind die verkürzt auf den Kalendertag angegebenen Zeitpunkte des astronomischen Beginns von Frühling beziehungsweise Herbst. Auf der Nordhalbkugel der Erde beginnt der Frühling im März und der Herbst im September. Auf der Südhalbkugel ist es jeweils umgekehrt.

Die Sonne überquert zur Tagundnachtgleiche den Himmelsäquator, steht also an diesem Tag um den Zeitpunkt des Äquinoktiums senkrecht über dem Erdäquator. Tag und Nacht sind dann überall auf der Erde ungefähr gleich lang, da eine Hälfte der täglichen Sonnenbahn oberhalb (Tagbogen), die andere unterhalb des Horizonts liegt. Überall auf der Erde geht die Sonne an diesem Tag daher fast genau im Osten auf und im Westen unter (siehe Aufgangspunkt).

In der sphärischen Astronomie werden Himmelsobjekte vereinfacht behandelt und die Ausdehnung der Sonnenscheibe bleibt zunächst unberücksichtigt, ebenso wie atmosphärische Einflüsse. Wegen der atmosphärischen Brechung des Sonnenlichts und der Bezugnahme auf den ersten bzw. letzten Sonnenstrahl haben allerdings tatsächlich zum Termin einer „Tagundnachtgleiche“ die Zeitspannen von lichtem Tag und Nacht nicht gleiche Dauer, sondern die Nacht ist um einige Minuten kürzer (siehe unten Equilux).

Zwischen den Äquinoktien liegen die Sonnenwenden, also die Tage, an denen die Sonne ihren größten Abstand vom Himmelsäquator erreicht und senkrecht über einem der Wendekreise der Erde steht. Die beiden Äquinoktien und die beiden Sonnenwenden in einem Jahr stellen jeweils den Beginn der astronomischen Jahreszeiten dar.

Equilux

Mit „Equilux“ wird ein Kalendertag bezeichnet, an dem auf der Erdoberfläche bei idealem (mathematischen) Horizont die Belichtungsdauer, gemessen zwischen dem ersten Sonnenstrahl morgens und dem letzten Sonnenstrahl abends, genau zwölf Stunden betragen würde; diese Definition bezieht sich also auf den Rand der Sonnenscheibe, nicht deren Mitte. Das Datum des Equilux fällt daher nicht auf das Datum eines Äquinoktiums („Equinox“), sondern findet im Jahreslauf einige Tage vor dem Primar- bzw. nach dem Sekundaräquinoktium statt. Im Gegensatz zu den erdmittelpunktbezogenen und so weltweit gleichen Äquinoktien hängt das Equilux-Datum darüber hinaus jeweils vom Breitengrad des Standortes ab. Für den 40. Breitengrad liegt es um den 17. März bzw. den 26. September, für den 5. Breitengrad um den 25. Februar bzw. den 15. Oktober.<ref>Equinoxes. (Memento vom 25. September 2015 im Internet Archive). Bei: usno.navy.mi. Abgerufen am 28. Januar 2014.</ref>

Die Sonne geht auf, wenn ihr oberer Rand über der Horizontlinie sichtbar wird, bevor also ihr Mittelpunkt erscheint. Der Sonnenuntergang ereignet sich, nachdem der Sonnenscheibenmittelpunkt scheinbar unter den Horizont gesunken ist, wenn der letzte Sonnenstrahl des oberen Sonnenrandes erlischt. Gegenüber einer punktförmigen Betrachtung der Sonnenmitte kommt damit je ein halber Durchmesserbogen der Sonne (etwa 0,25° bzw. 16′ Bogenminuten) hinzu. Außerdem bewirkt die Lichtbrechung durch die Erdatmosphäre jeweils eine scheinbare Anhebung der Sonnenscheibe (um etwa 0,6° bzw. 34′). Diese Verlängerung des lichten Tages auf Kosten der Nacht um knapp 7 Minuten (1,7 Winkelgrad × 4 Minuten/Winkelgrad) am Äquator (in Mitteleuropa um knapp 11 Minuten) wird bei der Bestimmung des Equilux berücksichtigt.

Äquinoktium als Koordinatennullpunkt

Wahres Äquinoktium und mittleres Äquinoktium

Die wahren Äquinoktialpunkte sind die tatsächlichen Schnittpunkte des Himmelsäquators mit der Ekliptik:

• Der Durchgang durch den Frühlingspunkt definiert den astronomischen Frühlingsanfang.
• Der Durchgang durch den Herbstpunkt definiert den astronomischen Herbstanfang.

Die mittleren Äquinoktialpunkte hingegen sind fiktiv. Sie sollen nur die langperiodische Bahnbewegung widerspiegeln, weswegen bei ihrer Bestimmung keine kurzfristigen Störungen (zum Beispiel Nutation und Aberration) berücksichtigt werden. Daher können die mittleren Äquinoktialpunkte von den tatsächlichen um mehrere Stunden abweichen.

• Der mittlere Frühlingspunkt ist der „Widderpunkt“, benannt nach dem Sternbild Widder.
• Der mittlere Herbstpunkt ist der „Waagepunkt“, benannt nach dem Sternbild Waage.

Das übliche Symbol für den Widderpunkt, der eine herausragende Bedeutung in der Himmelsmechanik hat, ist <math>\mathcal{W}</math> oder ♈ (U+2648). Er ist der Koordinatennullpunkt für ekliptikale Koordinaten und äquatoriale Koordinaten und etliche andere astronomische Grundgrößen. Seine englische Bezeichnung ist first point of Aries.

Frühlingspunkt und Herbstpunkt

Auch der Frühlings- und der Herbstpunkt selbst, also jene Punkte, auf denen die Sonne zum Zeitpunkt eines Äquinoktiums (im obigen Sinne) vor dem Fixsternhintergrund steht, heißen Äquinoktien. In deutlicher unterscheidendem Sprachgebrauch werden sie auch als „Äquinoktialpunkte“ bezeichnet.

Der Frühlingspunkt (auch Widderpunkt) ist der Punkt auf der imaginären Himmelskugel, bei dem die Sonne auf ihrer auf diese Kugel projizierten Bahn, der Ekliptik, auf dem Weg von Süden nach Norden den Himmelsäquator durchschneidet (Rektaszension = 0 h).

Dementsprechend ist der Herbstpunkt (auch Waagepunkt) der Punkt auf der imaginären Himmelskugel, bei dem die Sonne auf ihrer auf diese Kugel projizierten Bahn den Himmelsäquator auf dem Weg von Norden nach Süden durchschneidet (Rektaszension = 12 h).

Im Winkel von 90° zum Frühjahrspunkt und Herbstpunkt liegen jeweils der Sommerpunkt (Rektaszension = 6 h) und der Winterpunkt (Rektaszension = 18 h), in denen die Sonne bei der Sonnenwende steht.

Äquinoktiallinie

Die Verbindungslinie zwischen den beiden Positionen der Erde zum Zeitpunkt eines Äquinoktiums wird Äquinoktiallinie genannt. Diese Linie geht also mitten durch die Sonne hindurch, ihre Verlängerung außerhalb der Erdbahn durch die Äquinoktialpunkte. Sie steht senkrecht auf der Solstitiallinie.

Frühlingspunkt als Koordinatennullpunkt

Im Zusammenhang mit astronomischen Koordinatensystemen bezeichnet der Begriff Äquinoktium stets den Frühlingspunkt, nie den Herbstpunkt. Der Frühlingspunkt dient sowohl für das äquatoriale wie für das ekliptikale Koordinatensystem als Nullpunkt, von dem aus Rektaszension bzw. ekliptikale Länge gezählt werden (nach Osten positiv). Der Frühlingspunkt ist zwar kein direkt beobachtbarer und anmessbarer Punkt, aber seine Lage kann stets aus geeigneten Beobachtungen rechnerisch ermittelt werden.

Wanderung der Äquinoktialpunkte

Die Gravitationskräfte von Sonne, Mond und den übrigen Planeten versuchen, den Äquatorwulst der um 23,5° gegen die Ekliptikebene geneigten Erde in diese Ebene zu ziehen und so die Erde bezüglich der Ekliptik „aufzurichten“. Die Erde richtet sich jedoch nicht auf; vielmehr weicht die Erdachse aufgrund des Trägheitsmomentes unter Beibehaltung ihres Neigungswinkels seitlich aus, sodass die Richtung, in die sie geneigt ist, in etwa 25.800 Jahren einmal volle 360° durchläuft. Die senkrecht auf der Erdachse stehende Äquatorebene nimmt an dieser Bewegung teil, sodass die Äquinoktialpunkte als Schnittpunkte von Äquatorebene und Ekliptikebene in 25.800 Jahren einmal rund um die Ekliptik laufen. Diese Bewegung der Erdachse bzw. der Äquinoktialpunkte wird als Präzession (lat. „Vorangehen“) bezeichnet.

Die Äquinoktialpunkte verschieben sich dabei pro Jahr um etwa 50 Bogensekunden in westlicher Richtung entlang der Ekliptik. Dieser Effekt ist so groß, dass er über einen Beobachtungszeitraum von wenigen Jahrzehnten auffällt, und daher in der Antike schon bekannt war.

Wanderung des Frühlingspunktes in den vergangenen sechs Jahrtausenden

Der Präzessionsbewegung überlagern sich zusätzliche periodische Einflüsse; sie werden verursacht von der Schiefe der Umlaufbahn des Mondes, die um 5° 9′ gegen die Ekliptik geneigt ist, der sich kontinuierlich verschiebenden Knotenlinie der Mondumlaufbahn und periodischen Schwankungen in der Verlagerung der Rotationsachse der Erde. Diese verschiedenen periodischen Schwankungen, die die Erdachse zusätzlich zur Präzession ausführt, werden in der Astronomie unter dem Begriff Nutation zusammengefasst. Die Drift der Äquinoktialpunkte entlang der Ekliptik erfolgt daher nicht völlig gleichmäßig, sondern mit periodisch leicht schwankender Geschwindigkeit.

Anmerkung: Die Straßburger Münsteruhr enthält ein Teil, das diese Präzession darstellt.

Das Äquinoktium von astronomischen Koordinaten

Die Wanderung der Äquinoktialpunkte hat insbesondere zur Folge, dass die Nullpunkte der oben genannten astronomischen Koordinatensysteme nicht im Raum fixiert sind, sondern mit dem Frühlingspunkt langsam entlang der Ekliptik wandern. So nimmt zum Beispiel die ekliptikale Länge eines Sterns ohne Eigenbewegung in einem Jahr um 50 Bogensekunden und in 100 Jahren um 1,4° zu. Die Koordinaten eines Himmelsobjekts ändern sich also, ohne dass dies einer eigentlichen Bewegung des Objekts entspricht. Bei ihrer Angabe muss deshalb stets der Zeitpunkt, also die Lage des Frühlingspunkts, angegeben werden, auf den sich die Koordinaten beziehen. Dieser Zeitpunkt (nicht zu verwechseln mit einer der Tagundnachtgleichen) heißt ebenfalls Äquinoktium und wird als Jahreszahl, gegebenenfalls mit Bruchteil, angegeben. Von Bedeutung für Beobachtungen sind die Koordinaten für das Äquinoktium des Beobachtungszeitpunkts (zum Beispiel 2005.432), das sogenannte Äquinoktium des Datums.

Die Umrechnung von Koordinaten zwischen verschiedenen Äquinoktien ist eine häufig anzutreffende Aufgabe.

Äquinoktium und Epoche

Nicht mit dem Äquinoktium verwechselt werden darf der Begriff der Epoche. Die Epoche bezeichnet den tatsächlichen Zeitpunkt einer Beobachtung oder eines Vorgangs: das Äquinoktium das Koordinatensystem, in dem gemessen wird.

Standardäquinoktien

Kataloge von Himmelsobjekten werden in der Regel auf sogenannte Standardäquinoktien bezogen. Das sind Koordinatensysteme, die auf bestimmte Zeitpunkte bezogen sind und auch Standardepochen genannt werden. Die Zeitpunkte sind zum Wechsel jedes 25. Jahres festgelegt. Früher betrug der Zeitunterschied zwischen zwei Standardepochen 25 besselsche Jahre (ca. 9131,055 Tage), heute sind es 25 julianische Jahre (9131,25 Tage). Diese Standardäquinoktien werden mit einer Jahreszahl und einem B oder J davor bezeichnet. Dies sind:

Beispiel: Der Stern Arktur hat zu verschiedenen Epochen die folgenden auf verschiedene Äquinoktien bezogenen äquatorialen Koordinaten Rektaszension und Deklination:

Die Änderung der Koordinaten für verschiedene Epochen, aber dasselbe fixe Äquinoktium (J2000.0 oder J2050.0) spiegelt die Eigenbewegung des Sterns wider. Die Verschiedenheit der Koordinaten für dieselbe Epoche, aber unterschiedliche Äquinoktien ist auf die Präzession zurückzuführen. Die im Äquinoktium des Datums gegebenen Koordinaten beinhalten den Einfluss sowohl der Eigenbewegung als auch der Präzession.

Für Berechnungen ist es oft vorteilhaft, den periodischen Einfluss der Nutation auf die Bewegung des Äquinoktiums zu ignorieren und sich auf ein fiktives gleichmäßig bewegtes Äquinoktium zu beziehen (die Nutation muss dann natürlich nachträglich auf die Resultate wieder addiert werden). Es handelt sich dann um das mittlere Äquinoktium, während das wahre Äquinoktium den Einfluss der Nutation enthält.

Katalogäquinoktium und dynamisches Äquinoktium

Die genaue Lage des Äquinoktiums muss ebenso wie die Lage des Äquators und der Ekliptik durch Beobachtung bestimmt werden. Dazu wird gelegentlich geeignetes Beobachtungsmaterial besonders sorgfältig ausgewertet. Das Ergebnis ist zum Beispiel ein Sternkatalog, dessen Koordinatenangaben möglichst genau die Position der Sterne bezüglich des gesuchten Äquinoktiums angeben. Diese Koordinaten verkörpern das Koordinatensystem für den praktischen Gebrauch und stellen ein Fundamentalsystem dar, auf das sich andere Positionsmessungen beziehen können. Werden zum Beispiel die Koordinaten eines Sterns bestimmt, indem sein Abstand von geeigneten Fundamentalsternen gemessen wird, so beziehen sich seine gefundenen Koordinaten automatisch auf das Äquinoktium des Fundamentalsystems. Das Äquinoktium, das aus Katalogpositionen abgeleitet wird (als Schnittpunkt des Stundenkreises der Rektaszension 0 mit dem Äquator), ist das Katalogäquinoktium. Das vom Fundamentalsystem verkörperte Äquinoktium fällt aufgrund unvermeidlicher Messungenauigkeiten nie völlig exakt mit dem tatsächlichen Äquinoktium zusammen. Bei hohen Genauigkeitsansprüchen ist daher der Katalog anzugeben, auf dessen Katalogäquinoktium sich die Messungen beziehen. Wird das Äquinoktium ausschließlich aus Planetenbeobachtungen abgeleitet (der Drehimpulsvektor der Erdbewegung steht beispielsweise senkrecht auf der Ekliptikebene und erlaubt diese zu bestimmen), so erhält man ein dynamisches Äquinoktium.

Umrechnung von einem Äquinoktium in ein anderes

Die folgenden Umrechnungen transformieren äquatoriale Koordinaten von einem Äquinoktium in ein anderes. Die Eigenbewegung astronomischer Objekte ist nicht berücksichtigt. Vorgehensweise:

1. Umrechnen der äquatorialen Koordinaten des bisherigen Äquinoktiums in kartesische Koordinaten (einer Einheitskugel).
2. Transformation der kartesischen Koordinaten in kartesische Koordinaten des Zieläquinoktiums mit Hilfe einer Drehmatrix.
3. Umrechnung der transformierten kartesischen Koordinaten in äquatoriale Koordinaten.

Umrechnung von äquatorialen Koordinaten in kartesische Koordinaten

Mit Rektaszension α und Deklination δ gilt für <math>P = \begin{pmatrix} x \\y \\ z \end{pmatrix}:</math>

Drehungen mit Hilfe einer Drehmatrix

<math>P \cdot M = P'</math>

<math>\begin{pmatrix} x \\y \\ z \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}</math>

Die Drehmatrix ergibt sich aus der Überlagerung von drei Drehungen um die mit Polynomen ermittelten Winkel ζ, z und θ:<ref>Jean Meeus, 1991, Astronomical Algorithms, Willmann-Bell, Richmond VA.</ref>

<math>\begin{pmatrix}

\cos(\zeta) \cdot \cos(\Theta) \cdot \cos(z) - \sin(\zeta) \cdot \sin(z) & -\sin(\zeta) \cdot \cos(\Theta) \cdot \cos(z) - \cos(\zeta) \cdot \sin(z) & -\sin(\Theta) \cdot \cos(z) \\ \cos(\zeta) \cdot \cos(\Theta) \cdot \sin(z) + \sin(\zeta) \cdot \cos(z) & -\sin(\zeta) \cdot \cos(\Theta) \cdot \sin(z) + \cos(\zeta) \cdot \cos(z) & -\sin(\Theta) \cdot \sin(z) \\ \cos(\zeta) \cdot \sin(\Theta) & -\sin(\zeta) \cdot \sin(\Theta) & \cos(\Theta) \end{pmatrix}</math>

Das bedeutet die Matrixmultiplikation:

<math>x' = x \cdot m_{11} + y \cdot m_{12} + z \cdot m_{13}</math>

<math>y' = x \cdot m_{21} + y \cdot m_{22} + z \cdot m_{23}</math>

<math>z' = x \cdot m_{31} + y \cdot m_{32} + z \cdot m_{33}</math>

Errechnen der äquatorialen Koordinaten des Zieläquinoktiums

<math>\alpha' = \sgn(y') \cdot \arccos \frac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}</math>

<math>\delta' = \arcsin(z')</math>

Umrechnungen zwischen Standardäquinoktien

Für die Standardäquinoktien B1875, B1900, B1950, B1975 und J2000 gelten folgende Matrizen:

Beispiel

Für die Umrechnung von B1950 nach J2000 gelten die Werte <math>\zeta = 1152{,}4075</math>, <math>z = 1152{,}750</math> und <math>\Theta = 1002{,}2442</math>, woraus sich die Matrix

<math>\begin{pmatrix}

0{,}9999257352 & -0{,}0111761178 & -0{,}0048598834\\ 0{,}0111761178 & 0{,}9999375449 & -0{,}0000271607\\ 0{,}0048598834 & -0{,}0000271560 & 0{,}9999881903 \end{pmatrix}</math> ergibt. Das bedeutet für die Matrixmultiplikation:

<math>x' = x \cdot m_{11} + y \cdot m_{12} + z \cdot m_{13} = 0{,}9999257352 x - 0{,}0111761178 y - 0{,}0048598834 z</math>

<math>y' = x \cdot m_{21} + y \cdot m_{22} + z \cdot m_{23} = 0{,}0111761178 x + 0{,}9999375449 y - 0{,}0000271607 z</math>

<math>z' = x \cdot m_{31} + y \cdot m_{32} + z \cdot m_{33} = 0{,}0048598834 x - 0{,}0000271560 y + 0{,}9999881903 z</math>

Für beispielsweise den Himmelspol des Äquinoktiums B1950 gilt:

<math>\alpha = 0</math> (beliebig wählbar)

<math>\delta = +90^\circ</math>

<math>x = \cos(\alpha) \cdot \cos(\delta) = 0</math>

<math>y = \sin(\alpha) \cdot \cos(\delta) = 0</math>

<math>z = \sin(\delta) = 1</math>

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}

0{,}9999257352 & -0{,}0111761178 & -0{,}0048598834\\ 0{,}0111761178 & 0{,}9999375449 & -0{,}0000271607\\ 0{,}0048598834 & -0{,}0000271560 & 0{,}9999881903 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0{,}0048619076 \\ -0{,}0000271833 \\ 0{,}9999881805 \end{pmatrix}</math> und daraus

<math>\alpha' = 180{,}320341641^\circ</math>

<math>\delta' = 89{,}721427765^\circ</math>

Literatur

• Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. 2. Auflage, Spectrum, Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0574-2.
• Oliver Montenbruck: Grundlagen Der Ephemeridenrechnung. 7. Auflage, Spectrum, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2291-0.
• Manfred Schneider: Himmelsmechanik. 2. Auflage, Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1981, ISBN 3-411-01619-1.

Weblinks

Berechnung des Äquinoktium von −4000 bis 2500, Institut de Mecanique Celeste et de Calcul des Ephemerides (IMCCE)

Einzelnachweise

<references />