Luftlinie

Als Luftlinie bezeichnet man die kürzeste Entfernung zweier Punkte in der Landschaft über den direkten Luftweg durch eine Strecke. Luftlinien verlaufen stets parallel zur Erdoberfläche.

Bei größeren Entfernungen ist die Kugelgestalt der Erde zu berücksichtigen. In der sphärischen Trigonometrie bewegt man sich dann entlang von Kreisbögen, deren Mittelpunkt der Erdmittelpunkt ist (Großkreise). Bei der Projektion solcher Strecken auf ebene Karten entstehen im Allgemeinen keine Geraden mehr, sondern Kurven, die aber immer noch den kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten repräsentieren. In der Geometrie und der Navigation spricht man daher präziser von der Orthodrome statt von einer Luftlinie.<ref>Definition beim Duden</ref><ref name="Kompf"> Entfernungsberechnung bei Kompf.de</ref>

Eine Kartenprojektion, bei der Großkreise (und damit die „Luftlinien“ zwischen zwei Punkten) stets als Geraden abgebildet werden, ist die Gnomonische Projektion.

Mathematische Berechnung für die Erdkugel

Die Erde kann in guter Näherung als eine Kugel betrachtet werden. Zur Vereinfachung kann der Radius der Kugel als Eins angenommen werden. Aus der geografischen Breite <math>\varphi</math> und der geografischen Länge <math>\lambda</math> eines Punktes <math>P</math> errechnen sich die kartesischen Koordinaten <math>(x,y,z)</math> - mit der <math>z</math>-Achse in Richtung der Erdachse - mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus:

<math>(x,y,z) = (\cos(\varphi) \cdot \sin(\lambda), \cos(\varphi) \cdot \cos(\lambda), \sin(\varphi))</math>

Ein weiterer Punkt <math>P'</math> auf der Erdkugel hat analog die Koordinaten

<math>(x',y',z') = (\cos(\varphi') \cdot \sin(\lambda'), \cos(\varphi') \cdot \cos(\lambda'), \sin(\varphi'))</math>

Zunächst kann mit dem Satz des Pythagoras der euklidische Abstand der beiden Punkte im dreidimensionalen Raum berechnet werden (dies ist nicht die Luftlinie, sondern die Länge der Strecke, die durch die Erdkugel führt):

<math>d(P,P') = \sqrt{ (x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2 }</math>

Zu jedem Punkt dieser Strecke existiert ein Lot, das senkrecht auf der Erdoberfläche steht (dort ist ein Punkt der Orthodrome) und folglich durch den Erdmittelpunkt geht. Alle Punkte eines solchen Lotes haben dieselben geografischen Koordinaten, aber einen unterschiedlichen Radius (Abstand vom Erdmittelpunkt). Wenn man als Radius jeweils den Erdradius <math>R</math> verwendet, lassen sich die geografischen Koordinaten zu jedem Punkt der Orthodrome berechnen.

Aus dem Abstand <math>d</math> und dem Erdradius lässt sich nun der Öffnungswinkel <math>\omega</math> berechnen:

<math>\sin (\omega/2) = \frac{d/2}{R} \qquad \Rightarrow \omega = 2 \cdot \arcsin \left( \frac{d/2}{R} \right)</math>

Alternativ kann der Öffnungswinkel auch direkt aus den geographischen Koordinaten berechnet werden:

<math>\cos(\omega) = \cos(\varphi) \cdot \cos(\varphi') \cdot \cos(\lambda - \lambda') + \sin(\varphi) \cdot \sin(\varphi') \qquad \Rightarrow \omega = \arccos \, (\dots)</math>

Die gesuchte Luftlinie <math>L</math> ist als Länge des Bogens nun der Öffnungswinkel im Bogenmaß multipliziert mit dem Erdradius:

<math style = "border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em">L = \omega \cdot R</math>

In gleicher Weise kann auch der scheinbare Abstand im Bogenmaß zweier Sterne mit gegebener Deklination und Rektaszension berechnet werden.<ref name="Kompf" />

Weblinks

Einzelnachweise

<references />