Kinetische Energie
Die kinetische Energie (von griechisch kinesis = Bewegung) oder auch Bewegungsenergie oder selten Geschwindigkeitsenergie ist die Energie, die ein Objekt aufgrund seiner Bewegung enthält. Sie entspricht der Arbeit, die aufgewendet werden muss, um das Objekt aus der Ruhe in die momentane Bewegung zu versetzen. Sie hängt von der Masse und der Geschwindigkeit des bewegten Körpers ab.
Als Formelzeichen für die kinetische Energie wird in der theoretischen Physik üblicherweise <math>T</math> verwendet, in anderen Gebieten auch <math>E_\mathrm{kin}</math> (z. B. in der physikalischen Chemie).
Die SI-Maßeinheit der kinetischen Energie ist das Joule.
Das Konzept der kinetischen Energie wurde im 18. Jahrhundert von Émilie du Châtelet, aufbauend auf Überlegungen von Gottfried Wilhelm Leibniz, eingeführt (als vis viva, Lebendige Kraft). Bis zu diesem Zeitpunkt vertrat man die Ansicht von Newton, die Bewegungsenergie sei der Geschwindigkeit proportional.
Inhaltsverzeichnis
Kinetische Energie in der klassischen Mechanik
Massenpunkt
In der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie T eines Massenpunktes abhängig von seiner Masse <math>m</math> und seiner Geschwindigkeit <math>v</math>. Es gilt:
- <math>T = \frac{1}{2} m v^2.</math>
Fährt beispielsweise ein Auto der Masse <math>m = 1000 \, \mathrm{kg}</math> mit einer Geschwindigkeit von <math>v = 100 \, \mathrm{km} / \mathrm{h}</math>, hat es demzufolge eine kinetische Energie von <math>T = 1 / 2 \cdot 1000 \, \mathrm{kg} \cdot \left( 100 \, \mathrm{km} / \mathrm{h} \right) ^2 \approx 1 / 2 \cdot 1000 \, \mathrm{kg} \cdot \left( 27{,}78\, \mathrm{m} / \mathrm{s} \right) ^2 = 385\,800 \, \mathrm J</math>.
Wenn man den Bewegungszustand des Körpers nicht durch seine Geschwindigkeit <math>v</math>, sondern durch seinen Impuls <math>p</math> beschreibt, wie das u. a. in der Hamiltonschen Mechanik üblich ist, so gilt für die kinetische Energie (wegen p = mv):
- <math>T = \frac{p^2}{2m}</math>
Einfache Herleitung
Wird ein Körper der Masse <math>m</math> aus der Ruhe heraus auf die Geschwindigkeit <math>v</math> beschleunigt, so muss man dafür die Beschleunigungsarbeit <math>W</math> zufügen. Bei konstanter Kraft gilt:
- <math>W = Fs</math>
Die dabei zurückgelegte Wegstrecke <math>s</math> beträgt <math>s=\overline vt = \tfrac 1 2 vt</math> (mit der Durchschnittsgeschwindigkeit <math>\overline v</math>). Drückt man ferner die Kraft nach der Grundgleichung der Mechanik mit <math>F=ma</math> aus, so erhält man
- <math>W = m a \cdot \frac 1 2 v t</math>
Weil bei einer gleichmäßigen Beschleunigung aus der Ruhe <math>at=v</math> gilt, ergibt sich für die Beschleunigungsarbeit
- <math>W = \frac 1 2 m v^2</math>.
Da bei der Beschleunigung aus der Ruhe die kinetische Energie anfangs den Wert Null hat, erreicht sie nach dem Beschleunigungsvorgang genau diesen Wert. Folglich gilt für einen Körper mit der Geschwindigkeit <math>v</math>:
- <math>T = 0+W = \frac 1 2 m v^2</math>.
Spezielle Koordinatensysteme
In speziellen Koordinatensystemen hat dieser Ausdruck die Form:
- Kartesische Koordinaten (x, y, z):
- <math>T = \frac{1}{2} m \left(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2\right)</math>
- Ebene Polarkoordinaten (<math> r, \varphi </math>):
- <math>T = \frac{1}{2}m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 \right)</math>
- Zylinderkoordinaten (<math> r, \varphi, z </math>):
- <math>T = \frac{1}{2}m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 + \dot z^2 \right)</math>
- Kugelkoordinaten (<math> r, \varphi, \vartheta </math>):
- <math>T = \frac{1}{2}m \left(r^2 \left[\dot \vartheta^2 + \dot \varphi^2 \sin^2\vartheta \right] + \dot r^2 \right) \,.</math>
Dabei bedeutet der Punkt über der Koordinate ihre zeitliche Änderung, die Ableitung nach der Zeit.
Starre Körper
Die kinetische Energie eines starren Körpers mit der Gesamtmasse <math>M</math> und der Geschwindigkeit <math>v_\mathrm{s}</math> seines Schwerpunktes ist die Summe der Energie aus der Bewegung des Schwerpunkts (Translationsenergie) und der Rotationsenergie aus der Drehung um den Schwerpunkt:
- <math> T = \frac{1}{2} M {v_\mathrm{s}}^2 + \frac{1}{2} J_\mathrm{s} \omega^2 \,.</math>
Hier ist <math>J_\mathrm{s}</math> das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und <math>\omega</math> die Winkelgeschwindigkeit der Drehung.
Mit dem Trägheitstensor <math>I</math> wird dies allgemein geschrieben als
- <math>T = \frac{1}{2} M {v_\mathrm{s}}^2 + \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}^T I \boldsymbol\omega \,.</math>
Hydrodynamik
In der Hydrodynamik wird oft statt der kinetischen Energie die kinetische Energiedichte angegeben. Diese wird meist durch ein kleines <math>e</math> oder <math>\epsilon</math> ausgedrückt:
- <math>e_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \rho v^2 \,.</math>
Hierbei bezeichnet <math>\rho</math> die Dichte.
Kinetische Energie in der relativistischen Mechanik
In der relativistischen Physik gilt die oben angegebene Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit nur näherungsweise für Geschwindigkeiten deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Aus dem Ansatz, dass die kinetische Energie T die Differenz aus Gesamtenergie und Ruheenergie ist, folgt:
- <math>T = m_\mathrm{rel} c^2 - m c^2</math>,
Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit, m die Ruhemasse und mrel die relativistische Masse. Mit mrel = γ · m lautet die Beziehung:
- <math>T = \left(\gamma - 1\right) m c^2</math>,
γ ist der Lorentzfaktor
- <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}</math>
Aus der Taylor-Entwicklung nach <math>v/c</math> erhält man
- <math>T \approx \frac{1}{2} m v^2 + \frac{3}{8}\frac{m v^4}{c^2} + \dots</math>
also für <math>v \ll c</math> wieder die Newtonsche kinetische Energie.
Da die Energie über alle Grenzen wachsen müsste, wenn die Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht, <math>\lim_{v \to c}T = \infty</math>, ist es nicht möglich, einen massebehafteten Körper auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen.
Das Diagramm rechts zeigt für einen Körper mit der Masse von <math>m = 1\, \mathrm{kg}</math> die relativistische und die Newtonsche kinetische Energie als Funktion der Geschwindigkeit (gemessen in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit).
Da die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers vom Bezugssystem abhängt, gilt dies auch für dessen kinetische Energie. Das gilt in Newtonscher und in relativistischer Physik.
- Anwendungsbeispiele
Im elektrischen Feld nimmt die Energie eines Elektrons der Ladung <math>e</math> und der Masse <math>m</math> linear mit der Beschleunigungsspannung <math>U</math> zu. Die kinetische Energie ist nun die Differenz der relativistischen Gesamtenergie <math>E</math> und der Ruheenergie <math>E</math>0<ref>A. P. French: Die spezielle Relativitätstheorie - M.I.T. Einführungskurs Physik 1968, S. 19–23</ref>. Die kinetische Energie <math>eU</math> ist also:
- <math>e \cdot U = E - E_0</math>
Beachtet man, dass für die Gesamtenergie
- <math>E^2 = c^2p^2 + E_0^2\quad (*)</math>
gilt (<math>p</math>: relativistischer Impuls) und zwischen Impuls und Gesamtenergie der Zusammenhang
- <math>cp = E \cdot \frac{v}{c}</math>
besteht, folgt für die Gesamtenergie aus <math>(*)</math> also:
- <math>E(v) = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>
Berechnet man nun die Differenz aus <math>E(v)</math> und <math>E_0</math>, setzt den Ausdruck gleich <math>e \cdot U</math> und löst nach <math>v</math> auf, erhält man abschließend:
- <math>v = c \cdot \sqrt{1 - {\left(\frac{1}{1 + \frac{eU}{E_0}}\right)}^2} </math> mit der Ruheenergie eines Elektrons <math> E_0 = 0{,}51\,\mathrm{MeV} </math>
Bei Beschleunigungsspannungen unterhalb 1 kV lässt sich die Geschwindigkeit aus dem klassischen Ansatz für die kinetische Energie abschätzen, bei höheren Energien muss relativistisch gerechnet werden. Bereits bei einer Spannung von 10 kV erreichen die Elektronen eine Geschwindigkeit von fast 20 % der Lichtgeschwindigkeit, bei 1 MV 94 %.
Der Large Hadron Collider führt Protonen eine Energie von 7 TeV zu. Die Protonen (Ruheenergie 940 MeV) werden dabei auf das 0,999999991-Fache der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt.
Kinetische Energie in der Quantenmechanik
In der Quantenmechanik ist der Erwartungswert <math>\langle\hat{T}\rangle</math> der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse <math>m</math>, welches durch die Wellenfunktion <math>\vert\psi\rangle</math> beschrieben wird, gegeben durch
- <math>\langle\hat{T}\rangle = \frac{1}{2m}\langle\psi |\hat P^2 | \psi \rangle</math>,
wobei <math>\hat P^2</math> das Quadrat des Impuls-Operators des Teilchens ist.
Im Formalismus der Dichtefunktionaltheorie ist nur vorausgesetzt, dass die Elektronendichte bekannt ist, das heißt, dass die Wellenfunktion formal nicht bekannt sein muss. Mit der Elektronendichte <math>\rho(\mathbf{r})</math> ist das exakte Funktional der kinetischen Energie für <math>N</math> Elektronen unbekannt; falls jedoch im Fall <math>N=1</math> ein einzelnes Elektron betrachtet wird, so kann die kinetische Energie als
- <math> T[\rho] = \int \frac{1}{8}\frac{\nabla \rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla \rho(\mathbf{r}) }{ \rho(\mathbf{r}) } \mathrm{d}^3r</math>
geschrieben werden, wobei <math>T[\rho]</math> das Weizsäcker-Funktional der kinetischen Energie ist.
Siehe auch
- Potentielle Energie
- Energieerhaltungssatz
- Kinetische Energie in der Geographie: Schleppkraft
Einzelnachweise
<references />