Masse (Physik)

Die Masse, auch Ruhemasse oder invariante Masse, ist eine Eigenschaft der Materie. In den meisten physikalischen Größensystemen ist sie eine der Basisgrößen. Sie wird gemäß dem internationalen Einheitensystem in der Einheit Kilogramm angegeben. Das Formelzeichen ist meist <math>m</math>. Die Masse ist eine extensive Größe. Jedes physikalische System hat eine Masse. Sie ist unabhängig von der Bewegung gegenüber einem Bezugssystem. Ist die Masse eines in Bewegung befindlichen Systems nicht null, sind die beiden mit der Bewegung verbundenen Erhaltungsgrößen, Impuls und kinetische Energie, zu seiner Masse proportional.

Die Gravitation eines Systems ist proportional zu seiner Masse. Zugleich bestimmt seine Masse die Trägheit, mit der der Bewegungszustand des Systems als Ganzes auf Kräfte reagiert. Diese doppelte Rolle der Masse ist Inhalt des Äquivalenzprinzips.

Ferner bestimmt die Masse eines Systems dessen Ruheenergie. Aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie unterscheiden sich die beiden Größen Masse und Ruheenergie nur durch den konstanten Faktor Lichtgeschwindigkeit zum Quadrat (<math>c^2</math>).

Die Masse wird außerhalb der Physik auch als Gewicht bezeichnet. Dabei sollte beachtet werden, dass dieses Wort auch für die verwandte, aber nicht identische Bedeutung Gewichtskraft stehen kann.

Entwicklung des Begriffs der Masse

Masse in der klassischen Mechanik

Der physikalische Begriff Masse wurde Mitte des 17. Jahrhunderts geprägt, als Johannes Kepler, Galileo Galilei, Isaac Newton, Christiaan Huygens (und andere) mit dem Studium der Bewegungen von irdischen und himmlischen Körpern die Grundlagen der modernen Naturwissenschaften legten. Aus den Beobachtungen, wie sich die Geschwindigkeit eines Körpers durch Stoß oder Krafteinwirkung ändert, wurde geschlossen, dass jedem Körper eine unveränderliche Größe zukommt, die seine Trägheit verursacht. Dies entsprach dem älteren philosophischen Begriff "quantitas materiae", der die Menge der in einem Körper enthaltenen Materie bezeichnen sollte, aber erst mit der physikalischen Definition der Masse einen präzisen Sinn erhielt.<ref name=jammer>Max Jammer: Der Begriff der Masse in der Physik. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1964, englisches Original: Concepts of Mass in Classical and Modern Physics. Cambridge (Mass): Harvard U.P., 1961 New York: Harper, 1964 New York: Dover, 1997. ISBN 0-486-29998-8.</ref><ref>Isaac Newton: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Vorrede zur 3. Auflage, Erklärungen Deutsche Übersetzung. Demnach ließ Newton sich von dem damals gängigen Verständnis leiten, reine Materie existiere in Form von kleinen, gleich beschaffenen Partikeln, die mit äthergefüllten Zwischenräumen jeweils verschiedener Größe die verschiedenen realen Körper bilden.</ref> Dieser klassische Massebegriff bekam grundlegende Bedeutung für die Klassische Mechanik. Seine genauen Eigenschaften<ref>L. B. Okun: The Concept of Mass in the Einstein Year, (abgerufen 28. Mai 2015)</ref> sind:

1. Trägheit: Aufgrund seiner Masse setzt ein Körper einer Kraft, die seine Geschwindigkeit in Größe und/oder Richtung ändert, einen Widerstand entgegen: Die Geschwindigkeitsänderung erfolgt in der Richtung dieser beschleunigenden Kraft und ist umgekehrt proportional zur Masse.
2. Gravitationsladung: Aufgrund ihrer Massen ziehen sich zwei Körper gegenseitig an, wobei die Richtung dieser anziehenden Kraft entlang der Verbindungslinie liegt und ihre Stärke zu den Massen beider Körper proportional ist.
3. Invariantes Maß der Materiemenge: Die Masse eines Körpers hängt nicht von seiner Geschwindigkeit ab. D. h. sie bleibt die gleiche, wenn man das Bezugssystem wechselt, in dem der Körper betrachtet wird. In der klassischen Mechanik bedeutet dieser Wechsel, dass man die Koordinaten des Körpers mithilfe einer Galilei-Transformation umrechnet.
4. Additivität: Die Masse eines zusammengesetzten Körpers ist die Summe der Massen seiner Einzelteile.
5. Massenerhaltung: Bei allen physikalischen Prozessen bleibt die Gesamtmasse erhalten.

Die Eigenschaft Nr. 1 ist ein Teil des Zweiten Newtonschen Gesetzes und definiert die Bedeutung der physikalischen Größe Masse durch ihre Trägheit, allerdings setzt sie die Definition der Größe Kraft voraus. Die Eigenschaft Nr. 2 ist Teil des Newtonschen Gravitationsgesetzes, das zur Grundlage der genauen Beschreibung der Erdanziehung und der Planetenbewegung wurde. Sie liefert die benötigte Kraftdefinition, indem sie die Gravitationskraft konkret angibt und damit alle weiteren Kräfte durch Vergleich mit der aus der Gravitation folgenden Gewichtskraft zu messbaren Größen macht. Die im Gravitationsgesetz enthaltene Feststellung, dass es die durch Trägheit definierte Masse ist, welche die Gravitation verursacht, wird als Äquivalenz von träger und schwerer Masse bezeichnet. Die beiden nächsten Eigenschaften Nr. 3 und 4 der Masse ergeben sich in der Newtonschen Mechanik als Folgerungen aus der definierenden Eigenschaft Nr. 1. Die Massenerhaltung (Eigenschaft Nr. 5) ist eine Erfahrungstatsache zunächst aus dem Bereich der Mechanik, deren Gültigkeit Ende des 18. Jahrhunderts (vor allem durch Antoine de Lavoisier) auch auf die chemischen Vorgänge ausgeweitet werden konnte. Zusammen entsprechen die drei letztgenannten Eigenschaften genau der Vorstellung von einer unzerstörbaren Substanz, aus der die materielle Welt besteht.

Bis etwa Mitte des 18. Jahrhunderts wurden die wichtigen Erhaltungsgrößen Impuls und kinetische Energie herausgearbeitet, die mit der Masse eines in Bewegung befindlichen Körpers verbunden sind:

• Bewegungsgröße: Zur Bewegung eines Körpers gehört neben der Geschwindigkeit eine zweite gerichtete Größe, der Impuls. Sein Betrag ist zur Masse proportional, seine Richtung ist zur Geschwindigkeit parallel. Bei jedem Vorgang bleibt die vektorielle Summe der Impulse aller beteiligten Körper erhalten.
• Kinetische Energie: Zur Bewegung eines Körpers gehört auch eine ungerichtete Erhaltungsgröße, die kinetische Energie. Sie ist zur Masse proportional, und null, wenn der Körper ruht. Bei jedem Vorgang bleibt die Gesamtenergie, d. h. die Summe aus kinetischer Energie und allen anderen Energieformen, erhalten.

Diese beiden Erhaltungssätze für Impuls und Energie sind grundlegend sowohl für die klassische als auch für die moderne Physik und gelten in der gegebenen Formulierung exakt in beiden Bereichen. Auf ihrer Grundlage kann man eine neue Definition der Masse geben, die im Ergebnis mit den fünf oben genannten Eigenschaften übereinstimmt, aber keine von ihnen schon voraussetzt.<ref name="Weyl1924-II" /> Man benötigt dazu noch die genaue Festlegung, wie die Beschreibung eines physikalischen Vorgangs abzuändern ist, wenn man in ein bewegtes Bezugssystem wechselt. Es ist kein Rückgriff auf den Kraftbegriff nötig, der nach Ernst Mach, Gustav Kirchhoff, Heinrich Hertz und anderen im 19. Jahrhundert als ungeeignet für einen wissenschaftstheoretisch befriedigenden Grundbegriff kritisiert wurde.

Umbruch zur modernen Physik

Im Rahmen der klassischen Physik, und damit auch in der Alltagswelt, gelten alle fünf oben genannten Eigenschaften der Masse. In der von Relativitätstheorie und Quantenphysik geprägten modernen Physik ist ihre Geltung nur noch näherungsweise.

H. A. Lorentz entdeckte zu Beginn des 20. Jahrhunderts, dass für elektrodynamische Vorgänge ein Wechsel des Bezugssystems nicht mithilfe der Galilei-Transformation sondern mittels der Lorentz-Transformation vollzogen werden muss. Albert Einstein erkannte, dass dies für jedes physikalische Phänomen gilt, auch im Bereich der Mechanik. Das lässt den Zusammenhang zwischen der Kraft und der von ihr bewirkten Änderung der Geschwindigkeit weit komplizierter werden als in der klassischen Definition der Masse (Eigenschaft Nr. 1) angenommen. Außerdem folgt, dass ein System bei Änderung seiner inneren Energie (das ist der Energieinhalt, den er in seinem Ruhesystem hat) eine dazu proportionale Änderung seiner Masse erfährt. Die Masse eines zusammengesetzten Körpers hängt also nicht nur von den Massen seiner Bestandteile ab, sondern auch von den kinetischen und potenziellen Energien, die diese haben, wenn der Körper als Ganzes ruht. So verliert ein Körper beim Zusammensetzen aus einzelnen Bestandteilen an Masse, wenn Bindungsenergie frei wird, man spricht vom Massendefekt. Umgekehrt vergrößert sich seine Masse, wenn seine Bestandteile sich heftiger bewegen, wie das etwa bei Erwärmung der Fall ist. Dabei ergeben sich die betreffenden Energiewerte stets so, dass man den Wert der Masse bzw. Massenänderung mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit multipliziert. Dieser Umrechnungsfaktor ist eine universelle Konstante. Mithin lassen sich Veränderungen der Masse und der Energie überhaupt nicht voneinander trennen, vielmehr besteht eine allgemeine Äquivalenz von Masse und Energie.

Die Äquivalenz von Masse und Energie gilt immer. Einem in Ruhe befindlichen Körper muss man entsprechend seiner Masse <math>m</math> eine Ruheenergie <math>E_0=m\,c^2</math> zuschreiben (Einsteinsche Gleichung). Umgekehrt muss man nach derselben Gleichung einem System immer auch eine Masse zuschreiben, wenn es Ruheenergie besitzt, d. h. wenn es beim Gesamtimpuls null noch Energie hat. Dies bleibt im Alltag meist verborgen, wird aber besonders deutlich bei der gegenseitigen Vernichtung (Annihilation) von zwei massebehafteten Elementarteilchen, wenn man den Prozess in deren Schwerpunktsystem betrachtet, also im Ruhesystem des Zweiteilchensystems. Es entsteht Vernichtungsstrahlung mit einer Energie, die durch die Ruheenergie des verschwundenen Zweiteilchensystems gegeben ist. Sie hat den Gesamtimpuls null, wie vorher das Zweiteilchensystem auch. Diesem Strahlungsfeld muss auch dieselbe Masse zugeschrieben werden wie dem Zweiteilchensystem, denn es lässt sich kein Unterschied feststellen. Auch masselose Objekte (z. B. zwei oder mehr Lichtquanten) können also Systeme bilden, die eine Masse haben.

Die oben angegebenen klassischen Eigenschaften der Masse können daher nur näherungsweise gültig bleiben, nämlich für den klassischen oder nichtrelativistischen Grenzfall, d. h. für massebehaftete Körper mit geringer Geschwindigkeit. Nach den Erfordernissen der Speziellen und der Allgemeinen Relativitätstheorie müssen sie wie folgt umformuliert werden:

1'. Trägheit: Aufgrund seiner Masse setzt ein System einer Kraft, die seine Geschwindigkeit in Größe und/oder Richtung ändert, einen Widerstand entgegen: Die Geschwindigkeitsänderung ist umgekehrt proportional zur Masse, hängt aber in Richtung und Größe auch von der Größe der Geschwindigkeit und dem Winkel zwischen der Kraft und der Geschwindigkeit ab.

2'. Gravitationsladung: Zwei Systeme ziehen sich aufgrund der in ihnen enthaltenen Massen, Energien und Impulse gegenseitig an.

3'. Invariante Größe Masse: Die Masse eines Systems hängt nicht von seiner Geschwindigkeit ab; sie bleibt unverändert, wenn man durch eine Lorentz-Transformation das Bezugssystem wechselt, in dem das System betrachtet wird.

4' Additivität: Die Masse eines zusammengesetzten Systems ist gleich der Summe der Massen seiner Einzelteile, abzüglich des Massenäquivalents der Bindungsenergie, die zur vollständigen Trennung der gebundenen Einzelteile zugeführt werden müsste, und zuzüglich des Massenäquivalents der kinetischen Energien derjenigen Einzelteile, die als freie Teilchen zum System gehören.

5'. Energieerhaltung: Bei allen Prozessen bleibt die Summe aller Energien erhalten. Die mit den Massen verknüpften Ruheenergien sind darin enthalten. Die Summe der Massen allein bleibt nicht immer erhalten.

Im Endergebnis definiert man ganz allgemein die Masse mittels der Gleichung <math>E_0=m\,c^2</math> durch die Ruheenergie. Damit ist die Masse eine Lorentzinvariante, so wie die nach Newton definierte Masse eine Galilei-Invariante ist. Daher stimmen beide Definitionen der Masse nicht nur im Wert überein, sondern teilen eine tiefliegende Beziehung, an der aber auch ihr Unterschied deutlich wird: Beide Definitionen der Masse ergeben sich in gleicher Weise allein aus dem Erhaltungssatz für den Impuls, wenn man ihn einmal im Ruhesystem formuliert und ein zweites Mal in einem dagegen bewegten Bezugssystem (s. u.). Vollzieht man den Übergang von einer zur anderen Beschreibung mit der nur näherungsweise richtigen Galilei-Transformation, gelangt man zum klassischen Begriff der Masse, vollzieht man ihn mit der Lorentz-Transformation, gelangt man zum modernen Begriff der Masse.<ref name="Weyl1924-II" /><ref name="Mittelstaedt94">Peter Mittelstaedt: Klassische Mechanik, BI Wissenschaftsverlag Mannheim u. a., 1994</ref><ref name="Noack1998">Cornelius C. Noack: Was ist eigentlich eine ‚Ruhemasse‘? (PDF; 279 kB, abgerufen am 28. Mai 2015)</ref>

Die ursprüngliche Bedeutung der Masse als Maß für die Menge der Materie ist nicht mehr aufrechtzuerhalten.<ref name="Weyl1924-II" />

Wechsel im Wortgebrauch

Zu dem genauen Gebrauch der Benennung „Masse“ ist eine historische Anmerkung nötig: Um die klassische Definition der Masse in eine relativistisch korrekte zu überführen, wurde zunächst die Masse eines Systems einfach durch seinen gesamten Energiegehalt definiert, d. h. durch die Summe aus Ruheenergie und kinetischer Energie, dividiert durch den erwähnten universellen Faktor <math>c^2</math>. So ergab sich die sogenannte „relativistische Masse“, die oft aber einfach nur als „Masse“ bezeichnet wurde. Je kleiner die kinetische Energie eines Systems gegenüber seiner Ruheenergie ist, desto besser stimmen beide Definitionen überein. Jedoch ist diese „relativistische Masse“ für ein und dasselbe System je nach dem Bezugssystem, in dem es beobachtet wird, so verschieden wie seine kinetische Energie. Die „relativistische Masse“ eines Systems variiert also mit seiner Geschwindigkeit, ist lediglich ein anderer Ausdruck für seine jeweilige Gesamtenergie und hat keine eigenständige Bedeutung. Nur die zur Ruheenergie gehörende Masse charakterisiert das System als solches, sie erhielt in diesem Zusammenhang den neuen Namen „Ruhemasse“. Diese Benennungen sind zwar noch häufig anzutreffen, werden aber zunehmend durch die moderne Wortwahl verdrängt: „Masse“ steht darin ausschließlich für die zur Ruheenergie gehörende Masse, ist also eine vom Bezugssystem unabhängige Größe, die das jeweilige System als solches charakterisiert.

Einstein selbst begründet den Wechsel zur neuen Wortwahl im Jahre 1948. Dabei bedeutet die Formel <math>M=m/\sqrt{1-v^2/c^2}</math> dasselbe wie <math>M=E/c^2</math>:

Definition der Masse mithilfe der Impulserhaltung

Die Herleitung des Massenbegriffs aus der Impulserhaltung beleuchtet sowohl Unterschiede als auch Ähnlichkeiten zwischen der klassischen und der relativistischen Physik. Als Ergebnis der Herleitung sieht man: Wenn jedem Körper einzeln eine zu seiner Geschwindigkeit <math>\vec v</math> parallele Größe <math>\vec p</math> zugeordnet werden kann, so dass die Summe dieser beiden Größen bei einem inelastischen Stoß konstant bleibt, dann muss es zu jedem Körper einen vom Bezugssystem unabhängigen Wert <math>m</math> geben, mit dem <math> \vec p = m\vec v</math> (klassisch) bzw. <math>\vec p= m\vec v/\sqrt{1-(v/c)^2}</math> (relativistisch) gilt. Man bezeichnet <math>\vec p </math> als den Impuls und <math>m</math> als die Masse des Körpers. Hiermit ist eine eigenständige Definition der Masse gegeben, die allein auf der Impulserhaltung beruht.<ref name="Weyl1924-II"> Hermann Weyl: Was ist Materie? (Kap 2.). In: Die Naturwissenschaften. 12, Nr. 29, 1924, S. 585 - 593.</ref> Weiter ergibt sich, dass außer der Summe der Impulse in der klassischen Physik auch die Summe der Massen erhalten bleibt, in der relativistischen Physik aber die Summe der Größen <math>\tfrac{m}{\sqrt{1-(v/c)^2}}</math>, die (bis auf den universellen Faktor <math>c^2</math>) die Energien der einzelnen Körper angibt.

Für diese Herleitung betrachtet man den vollkommen inelastischen Stoß, d. h. zwei Körper (<math>K_1, K_2</math>), die sich aufeinander zubewegen und zu einem einzigen (<math>K_{1+2}</math>) vereinigen. Die Impulse (<math>\vec p_i</math>) sind jeweils parallel zur Geschwindigkeit (<math>\vec v_i</math>), mit zunächst unbekannten Faktoren (<math>M_i</math>). Impulserhaltung bedeutet

<math>\vec p_1 + \vec p_2 = \vec p_{1+2}</math>.

Das ergibt die Gleichung:

<math>M_1 \vec v_1 + M_2 \vec v_2 = M_{1+2} \ \vec v_{1+2}</math>.

Die Faktoren <math>M_i</math> können in noch unbekannter Weise auch von der jeweiligen Geschwindigkeit abhängen. Sicher sind sie aber gleich in dem Fall, dass beide Körper vollkommen gleich beschaffen sind: <math>M_1(\vec v)=M_2(\vec v) =:M(\vec v)</math> . In diesem Fall gilt, wenn der Stoß in dem Ruhesystem (<math>\vec v_{1+2}=0</math>) des im Stoß gebildeten Körpers <math>K_{1+2}</math> betrachtet wird:

<math>M(\vec v_1)\, \vec v_1 + M(\vec v_2)\,\vec v_2 = 0</math>.

Daher ergibt sich, dass in diesem Bezugssystem die Geschwindigkeiten der beiden gleichen stoßenden Körper entgegengesetzt gleich sein müssen:

<math>\vec v_1=-\vec v_2 =:\vec v</math>

Die beiden Geschwindigkeiten sind aber nicht entgegengesetzt gleich, wenn derselbe Stoß in einem mit der Geschwindigkeit <math>-\vec V</math> bewegten Bezugssystems betrachtet wird. Darin bewegt sich nach dem Stoß der Körper <math>K_{1+2}</math> mit Geschwindigkeit <math>\vec V</math>. Die Gleichung der Impulserhaltung lautet nun:

<math>M(\vec v^{\,'}_1)\, \vec v^{\,'}_1 + M(\vec v^{\,'}_2)\,\vec v^{\,'}_2 = M_{1+2}(\vec V) \ \vec V</math>.

Darin sind <math>\vec v^{\,'}_1\ ,\ \vec v^{\,'}_2</math> die Geschwindigkeiten der beiden stoßenden Körper im bewegten Bezugssystem.

Betrachtung mit klassischer Physik

Nach der in der klassischen Physik gültigen Galilei-Transformation gilt die einfache Addition der Geschwindigkeiten:

<math>\vec v^{\,'}_1=\vec v + \vec V\ ,\ \vec v^{\,'}_2=-\vec v + \vec V \ ,</math>

und folglich

<math>\vec v^{\,'}_1+ \vec v^{\,'}_2=2 \vec V \ .</math>

Diese Gleichung zwischen den drei Geschwindigkeiten ist mit der obigen Gleichung zwischen den drei Impulsen nur dann verträglich, wenn

<math>M(\vec v^{\,'}_1) = M(\vec v^{\,'}_2)\ ,</math> sowie <math>M_{1+2} = 2 M\ .</math>

Denn mit zwei verschiedenen Faktoren <math>M(\vec v^{\,'}_1) \neq M(\vec v^{\,'}_2)\ </math> kann sich kein zu <math>\vec V</math> paralleler Vektor ergeben. Aus der ersten Gleichung der vorigen Zeile folgt nun, dass der Faktor <math>M</math> für alle Geschwindigkeiten gleich ist. Er ist identisch mit der aus der älteren Definition bekannten Masse. Damit gilt allgemein (mit den üblichen Symbolen):

<math>\vec p= m \vec v \ .</math>

Mit Kenntnis dieser Gleichung kann die Überlegung auf den Fall verschiedener Massen <math>m_1 \neq m_2 </math> verallgemeinert werden. Einsetzen in die Gleichung der Impulserhaltung führt auf das Ergebnis:

<math>M_{1+2} = m_1 + m_2\ .</math>

Demnach ist in der klassischen Mechanik die Masse eine additive Erhaltungsgröße.

Betrachtung mit relativistischer Physik

Man muss statt der Galilei-Transformation die Lorentz-Transformation zugrundelegen. Dann gilt statt der einfachen Addition der Geschwindigkeitsvektoren das relativistische Additionstheorem. Daraus folgt (nach längerer Rechnung): Nicht <math>(\vec v^{\,'}_1+ \vec v^{\,'}_2)</math> ist parallel zu <math>\vec V</math>, sondern der Vektor <math>\left(\tfrac{\vec v^{\,'}_1}{\sqrt{1-(v^{\,'}_1/c)^2}}+ \tfrac{\vec v^{\,'}_2}{\sqrt{1-(v^{\,'}_2/c)^2}}\right)</math>. Multipliziert mit einer Konstante, die hier im Vorgriff schon mit <math>m</math> bezeichnet wird, muss sich der Gesamtimpuls <math>M_{1+2}(\vec V) \ \vec V</math> ergeben. Folglich sind die beiden Impulse der stoßenden Körper durch

<math>\vec p= \frac{m}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \vec v</math>

gegeben. Dies geht für kleine Geschwindigkeiten, wo <math>\sqrt{1-(v/c)^2} \approx 1 </math> gesetzt werden kann, in die nichtrelativistische Formel <math>\vec p= m\, \vec v</math> über, womit der konstante Faktor <math>m</math> sich tatsächlich als die Masse in relativistischer Definition erweist. Die Gleichung der Impulserhaltung lautet nun

<math>\frac{m \,\vec v^{\,'}_1}{\sqrt{1-(v^{\,'}_1/c)^2}}+ \frac{ m\,\vec v^{\,'}_2}{\sqrt{1-(v^{\,'}_2/c)^2}} = \frac{M_{1+2}\,\, \vec V}{\sqrt{1-(V/c)^2}}</math>

und ermöglicht damit wieder die Bestimmung von <math>M_{1+2}</math>. Es zeigt sich, dass die Masse in der relativistischen Mechanik keine additive Erhaltungsgröße ist, denn es gilt:

<math>\frac{m_1 }{\sqrt{1-(v_1^{\,'}/c)^2}} + \frac{m_2 }{\sqrt{1-(v_2^{\,'}/c)^2}} = \frac{M_{1+2} }{\sqrt{1-(V/c)^2}}</math>

Nach dieser Gleichung ist die nach der relativistischen Formel <math>E=\tfrac{m\,c^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}} </math> berechnete Energie eine additive Erhaltungsgröße.

Einheiten

Die SI-Basiseinheit der Masse ist das Kilogramm mit dem Einheitenzeichen kg. Im Zusammenhang mit geschäftlichen Vorgängen ist in den meisten Industrieländern die Verwendung des Kilogramms als Masseneinheit rechtlich vorgeschrieben.

Für die Angabe der Masse von Atomen und Molekülen ist die Atomare Masseneinheit (amu) weit verbreitet.

Bei Elementarteilchen ist eine Angabe in Elektronenvolt geteilt durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit üblich.

Messung

Direkte Massenbestimmung

Die direkte Messung der Masse erfolgt am ruhenden Körper durch Vergleich mit einer Referenzmasse. Zwei Massen sind gleich, wenn sie im selben Schwerefeld die gleiche Gewichtskraft haben. Dies kann man mit einer Balkenwaage überprüfen. Dabei ist die Stärke des Schwerefeldes unerheblich, es muss nur von Null verschieden und an den Orten der beiden Körper gleich sein. Zur Festlegung der Masseneinheit siehe Urkilogramm.

Indirekte Massenbestimmung

Die Masse kann auch über Kräfte und Beschleunigungen bestimmt werden. In der newtonschen Mechanik ist jede Bewegungsänderung proportional zu der Kraft, welche die Bewegungsänderung verursacht hat (s. u.: <math>\vec{F} = m \cdot \vec{a}</math>). Masse ist somit die Proportionalitätskonstante zwischen Kraft und Beschleunigung:

<math>m=\frac{|\vec{F}|}{|\vec{a}|}</math>

Die Beschleunigung <math>\vec{a}</math> gibt dabei die durch eine Kraft <math>\vec{F}</math> verursachte Geschwindigkeitsänderung an.

Beispiel zur trägen Masse: Wird ein Körper durch die konstante Kraft <math>F=6 \,\mathrm{N}</math> innerhalb des Zeitintervalls <math>\Delta t=2 \,\mathrm{s}</math> um <math>\Delta v=3 \,\mathrm{\tfrac{m}{s}}</math> schneller, so ist seine Beschleunigung

<math>a= \frac{\Delta v}{\Delta t} \;=\; 1{,}5 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.</math>

Seine Masse beträgt dann

<math>m=\frac{F}{a} \;=\; 4\,\mathrm{kg}.</math>

Beispiel zur schweren Masse: Durch die Gravitation der Erde werden frei fallende Körper mit

<math>a = 9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} \qquad \left(= \text{Ortsfaktor } g = 9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}}\right)</math>

beschleunigt. Ein Körper, der auf der Erdoberfläche mit der Gewichtskraft <math>F=6 \,\mathrm{N}</math> angezogen wird, hat die Masse

<math>m=\frac{F}{a} \;=\; 0{,}612\,\mathrm{kg}.</math>

Verwandte Größen

In der Newtonschen Mechanik ist die Masse eine extensive Größe. Das bedeutet, dass zwei Körper der Masse <math>m</math> insgesamt die doppelte Masse <math>2m</math> haben. Intensive Größen ändern sich bei der Systemverdopplung nicht. Mit der Masse verwandt sind folgende intensive Größen:

• Bezieht man die Masse auf das Volumen <math>V</math>, erhält man die Dichte <math>\rho \,=\, \frac{m}{V}</math> mit der SI-Einheit <math>[\rho]=1\mathrm{\frac{kg}{m^3}}.</math>

Man kann also die Masse eines homogenen Körpers berechnen, wenn sein Volumen und seine Dichte bekannt sind.

• Bezieht man die Masse auf die Stoffmenge <math>n</math>, erhält man die molare Masse <math>M \,=\, \frac{m}{n}</math> mit der SI-Einheit <math>[M]=1\mathrm{\frac{kg}{mol}}.</math>

Klassische Physik

In der klassischen Physik ist die Masse eine Erhaltungsgröße. Das bedeutet, dass sich die Masse in einem geschlossenen System nicht ändert. Wenn beispielsweise ein Stück Holz verbrennt, dann haben nach der klassischen Physik die entstehenden Verbrennungsabgase und die Asche nach der Verbrennung exakt die gleiche Masse wie das Holzstück und der verbrauchte Luftsauerstoff vor der Verbrennung. Dies wird als selbstverständliche empirische Tatsache angenommen, ohne dafür eine Begründung zu geben.

Ebenso wenig erklärt die klassische Mechanik die Äquivalenz von schwerer und träger Masse.

Als schwere Masse bezeichnet man sowohl die Quelle der Gravitationskraft als auch die „Gravitationsladung“. Die von der Masse <math>M_\mathrm{s}</math> auf die Masse <math>m_\mathrm{s}</math> ausgeübte Kraft ist

<math>\vec{F} \,=-\ G\frac{m_\mathrm{s} M_\mathrm{s}}{|\vec{r}|^2} \, \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|},</math>

wobei die Massen punkt- oder kugelförmig gedacht sind und <math>\vec{r}</math> der Vektor von <math>M_\mathrm{s}</math> nach <math>m_\mathrm{s}</math> ist. <math>G</math> ist die Gravitationskonstante, eine Naturkonstante.

Die träge Masse <math>m</math> ist in der newtonschen Mechanik das, was sich einer Beschleunigung widersetzt. Um den Bewegungszustand eines Körpers zu ändern, muss man daher eine Kraft <math>\vec F</math> aufwenden. Je größer diese Kraft ist, umso stärker ändert sich der Impuls. Dies wird durch das 2. newtonsche Axiom, das Aktionsprinzip, ausgedrückt:

<math>\vec{F} = \frac{\mathrm d \vec{p}}{\mathrm d t}</math>

Daraus ergibt sich mit dem Impuls <math>p=m \, v</math> für Körper mit konstanter Masse die Bewegungsgleichung zu „Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung“, der „Grundgleichung der Mechanik“:

<math>\vec{F} = m \, \vec{a}</math>

Hier ist die träge Masse also der Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung.

Spezielle Relativitätstheorie

Definition der Masse als Lorentzinvariante

In der speziellen Relativitätstheorie wird die Masse so definiert, dass sie eine lorentzinvariante Größe ist, die im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten mit der Masse der klassischen Physik übereinstimmt. Dazu geht man von der Energie-Impuls-Relation eines Systems aus und stellt sie nach der Masse <math>m</math> um:

<math> m = \frac{1}{c}\sqrt{\frac{E^2}{c^2} - p^2}</math>

Darin ist <math>E</math> die Energie und <math>p</math> der Betrag des Impulses des Systems.

Damit ist die so definierte Größe <math>m</math> die durch die Konstante <math>c</math> dividierte Norm des relativistischen Vierervektors <math>(\tfrac{E}{c}, p)</math> (siehe Energie-Impuls-Vektor), folglich eine Lorentzinvariante. Diese Größe stimmt mit der im Gültigkeitsbereich der klassischen Mechanik definierten Masse überein, d. h. für Geschwindigkeiten, die klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind. Dies geht aus der Beziehung zwischen Impuls und Geschwindigkeit hervor:

<math>p = \frac{m\,v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\,.</math>

Diese Gleichung erhält man aus der Energie-Impuls-Relation, wenn die Geschwindigkeit, mit der sich das System bewegt, eingeführt wird:

<math>v = \sqrt{1-(\tfrac{mc^2}{E})^2}\cdot c \ .</math>

Der Faktor <math>\gamma = 1/\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}} =\frac{E}{mc^2}</math> heißt auch Lorentzfaktor.

In der speziellen Relativitätstheorie ist der Impuls <math>p</math> also nicht wie bei Newton das Produkt von Masse <math>m</math> und Geschwindigkeit <math>v</math>. Die Newtonsche Formel gilt nur als Näherung im nichtrelativistischen Grenzfall.

Relativistische Masse

Um dennoch die Newtonsche Formel beibehalten zu können, wurde der Begriff relativistische Masse

<math>m_{\text{rel.}}(v) = \frac{m}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>

eingeführt, sodass <math>\vec p = m_{\text{rel.}}\cdot \vec v</math> gilt. In diesem Zusammenhang wird die Größe <math>m</math> „Ruhemasse“ genannt und oft mit <math>m_0</math> bezeichnet<ref group="Anm.">In entsprechenden Texten wird der Buchstabe <math>m</math> oft für die relativistische Masse benutzt. In Wikipedia wird das zur Vermeidung von Verwechslungen nach Möglichkeit vermieden.</ref> Es gilt also

<math>m_0 = m_{\text{rel.}}(v\mathord=0)</math>

Der Begriff der relativistischen oder relativistisch veränderlichen Masse wird in der populären Literatur heute noch benutzt, jedoch zunehmend vermieden, weil die relativistische Masse <math>m_{\text{rel.}}(v)</math> an Stelle von <math>m</math> nur in den Gleichungen für den Impuls und für die relativistische Energie <math>E=m_{\text{rel.}}(v)\,\cdot c^2</math> zu richtigen Ergebnissen führt. Im newtonschen Gravitationsgesetz eingesetzt bringt sie aber falsche Ergebnisse hervor, ebenso im newtonschen Gesetz <math>\vec{F}=m_{\text{rel.}}(v) \cdot \vec{a}</math>, sofern die Kraft nicht senkrecht zur Bewegungsrichtung steht.

Der letztgenannte Mangel ergibt sich aus der Definition der Kraft <math>\vec{F}</math> durch die zeitliche Änderung des Impulses, in der speziellen Relativitätstheorie also

<math>\vec F = \frac{\mathrm{d}\vec p}{\mathrm{d}t} = \frac{m}{\sqrt{1- v^2/c^2}}\,\vec{a}+\frac{m\,(\vec{v}\cdot\vec{a})}{c^2\,\left(\sqrt{1- v^2/c^2}\right)^3}\,\vec{v} \ .</math>

Bildet man hieraus die Größe <math>(\vec v \cdot \vec F) </math> und damit die Größe

<math>\left(\vec{F} - \frac{(\vec v \cdot \vec F)}{c^2} \vec v\right) \ ,</math>

so lässt sich nach der Beschleunigung <math>\vec{a}</math> umstellen:

<math>\vec{a} = \frac{\sqrt{1- v^2/c^2}}{m} \left(\vec{F} - \frac{(\vec v \cdot \vec F)}{c^2}\,\vec{v}\right)\,.</math>

Für kleine Geschwindigkeiten <math>(v \ll c)</math> entspricht dies der Grundgleichung der newtonschen Mechanik:

<math>\vec a = \frac 1 m \vec F</math>.

Man sieht aber, dass die Richtung der Beschleunigung nur dann parallel zur Kraft ist, wenn diese genau senkrecht oder parallel zur Geschwindigkeit einwirkt. Andernfalls hat die Beschleunigung auch einen Anteil, der parallel oder antiparallel zur Geschwindigkeit ist und mit zunehmender Geschwindigkeit anwächst. Zudem ergibt sich die Beschleunigung um den Faktor <math>(1- v^2/c^2)</math> geringer, wenn die Kraft in oder entgegengesetzt zur Richtung der Geschwindigkeit einwirkt als senkrecht dazu. Welche Beschleunigung eine Kraft <math>\vec F</math> bewirkt, hängt also nach Größe und Richtung von der Geschwindigkeit des Körpers ab. Es gibt keinen einfachen Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung wie in der newtonschen Mechanik. Die unterschiedliche Trägheit in Richtung der Bewegung und quer dazu hatte man zunächst mit den Begriffen der longitudinalen und transversalen Masse zu erfassen versucht, die aber heute nicht mehr verwendet werden.

In diesem und anderen Artikeln wird die Größe <math>m_{\text{rel.}}(v)</math> nicht weiter verwendet, und das Symbol <math>m</math> für die Masse hat stets die Bedeutung der Ruhemasse, also <math>m= m_0.</math> Zu beachten ist jedoch, dass mitunter, vor allem in älteren Texten, das Symbol <math>m</math> für die relativistische Masse steht. Einstein selbst äußerte sich folgendermaßen dazu:

„Es ist nicht gut, von der Masse <math>M = \frac m {\sqrt{1-\frac {v^2}{c^2}}}</math> eines bewegten Körpers zu sprechen, da für <math>M</math> keine klare Definition gegeben werden kann. Man beschränkt sich besser auf die „Ruhe-Masse“ <math>m</math>. Daneben kann man ja den Ausdruck für momentum und Energie geben, wenn man das Trägheitsverhalten rasch bewegter Körper angeben will. …“<ref>In dem Zitat von Einstein steht <math>M</math> für die relativistische Masse und „momentum“ für den Impuls.</ref><ref>Zitiert nach: P.A. Tipler, R.A. Llewellyn: Moderne Physik. Oldenbourg-Verlag, München, Wien 2003; Originalzitat aus: Okun: Physics Today. 43, 32 (1989).</ref>

Ruheenergie

Unter der Ruheenergie <math>E_0</math> versteht man die Energie eines Körpers oder Systems in seinem Ruhesystem, d. h. in dem Bezugssystem, in dem sein Gesamtimpuls null ist. Die Ruheenergie ist eine Eigenschaft des Systems, die nicht von seinem Bewegungszustand abhängt. Aus der oben angegebenen Energie-Impuls-Relation folgt die berühmte Einsteinsche Gleichung:

<math>E_0 = m c^2</math>

Damit ist die Ruhenergie durch die Masse des Systems eindeutig bestimmt und umgekehrt. Beide Größen unterscheiden sich nur durch den konstanten Faktor <math>c^2</math> und sind daher äquivalent.

Die Ruheenergie von Teilchen wirkt sich insbesondere bei Erzeugungs- (z. B. Paarbildung) und Vernichtungsvorgängen (z. B. Annihilation) aus. Die Ruheenergie eines Photons ist null, die des Elektrons beträgt 0,511 MeV, diejenige eines Protons 938 MeV.

Mehrteilchensysteme

Für ein System aus mehreren nicht wechselwirkenden Teilchen sind die Gesamtenergie und der Gesamtimpuls die Summen der jeweiligen Größen aller Teilchen. Die Energie-Impuls-Relation lautet daher:

<math>\left(m_{\text{invariant}}\,c^2\right)^2 = \left(\sum_{i=1}^N E_i\right)^2 - \left(\sum_{i=1}^N \vec{p}_i\right)^2\,c^2,</math>

wobei <math>N</math> die Anzahl der Teilchen ist. Hierbei ist die invariante Masse des Mehrteilchensystems <math>m_\text{invariant}</math> im Allgemeinen nicht gleich der Summe der Massen der Einzelteilchen. Multipliziert man die invariante Masse mit dem konstanten Faktor <math>c^2</math>, so ergibt sich daraus die Ruheenergie des Systems, in diesem Zusammenhang auch als Schwerpunktsenergie bezeichnet. Diese umfasst nicht nur die Ruheenergien der einzelnen Teilchen, sondern auch ihre Relativbewegung gegenüber dem Schwerpunkt. Zur Erläuterung stelle man sich ein Gefäß vor, das ein Gas enthält. Fügt man dem Gas Energie zu, indem man es komprimiert oder erhitzt, so hat das Gefäß als Ganzes eine erhöhte Schwerpunktsenergie und damit eine größere invariante Masse. Im Detail betrachtet verändert sich die Masse der einzelnen Gasmoleküle dabei nicht, wohl aber ihre kinetische Energie relativ zum gemeinsamen Schwerpunkt.

Die Schwerpunktsenergie ist – ebenso wie die invariante Masse – invariant unter Lorentztransformation. Sie gibt den Energiebetrag an, der für die Erzeugung neuer Teilchen bei einer Teilchenkollision zur Verfügung steht, und ist daher in der experimentellen Teilchenphysik von Bedeutung.

Massendefekt

Gibt ein geschlossenes System Energie über die Systemgrenzen z. B. in Form von Strahlung ab, so verringert sich der Energieinhalt des Systems und damit seine Masse. In diesem Sinne ist die Masse in der modernen Physik keine Erhaltungsgröße mehr, wenngleich sich dies in alltäglichen Situationen kaum bemerkbar macht.

Bei Kernreaktionen werden jedoch Energiemengen umgesetzt, die gegenüber der Ruhenergie der Kernbausteine nicht mehr zu vernachlässigen sind. Die Bindungsenergie führt dazu, dass ein Atomkern eine wägbar geringere Masse hat als die Summe seiner Bausteine. Die Differenz wird Massendefekt genannt. Die Bindungsenergie liegt bei den meisten Atomkernen zwischen 7 und 9 MeV pro Nukleon und bewirkt dadurch einen Massendefekt zwischen 0,7 und 0,9 Prozent. Sehr leichte Atomkerne (²H, ³H, ³He, Li, Be, B) weisen mit 1 bis 6 MeV geringere Bindungsenergien pro Nukleon und mit 0,1 und 0,6 Prozent geringere Massendefekte auf.

Die Bindungsenergie chemischer Bindungen liegt mit typischen 2 bis 7 eV pro Bindung (pro Nukleon wäre sie entsprechend dem Molekülgewicht noch einmal deutlich kleiner) um 7 bis 9 Größenordnungen darunter. Daher konnte ein chemischer Massendefekt bisher noch nicht durch Wägung nachgewiesen werden. Zwar liegen die Werte bei einigen Reaktionen im Bereich der Nachweisgrenze aktueller Massekomparatoren (<math>1\ldots2\cdot 10^{-8}</math> Prozent): Der größte chemische Massendefekt ist <math>2{,}25\cdot 10^{-7}</math> Prozent bei der Bindung <math>\mathrm{2 H\ \rightarrow\,H_2}</math>. Zu <math>\mathrm{Li + F\ \rightarrow\ LiF}</math> gehört ein Massendefekt von <math>2{,}47\cdot 10^{-8}</math> Prozent. Jedoch sind diese Reaktionen stark exotherm und müssten daher in dickwandigen und absolut dichten Reaktionsgefäßen stattfinden, sodass die relative Massenänderung, die nach dem Abkühlen zu beobachten wäre, mit <math><10^{-9}</math> Prozent in einem nicht mehr nachweisbaren Bereich liegt.

Da bei chemischer Bindung der Massendefekt so klein ist, dass er bei keiner Wägung zu bemerken wäre, konnte Ende des 18. Jahrhunderts von Antoine de Lavoisier der Massenerhaltungssatz aufgestellt werden. Diese Erkenntnis trug maßgeblich zur Abkehr von der Alchemie und Phlogistontheorie bei und wurde damit eine wichtige Grundlage der auf den Begriff der chemischen Elemente gestützten Chemie.

Allgemeine Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird der freie Fall von Körpern im Gravitationsfeld als kräftefrei verstanden. Eventuell wirkende Kräfte würden bewirken, dass die Bahnkurven vom freien Fall abweichen. Wird der Körper vom freien Fall abgehalten, ist eine Kraft nötig, deren Größe zur trägen Masse des Körpers proportional ist.

Die Weltlinien frei fallender Teilchen sind die Geraden (genauer: Geodäten) der Raumzeit. Sie sind vollständig durch den anfänglichen Ort und die anfängliche Geschwindigkeit festgelegt und hängen nicht von anderen Eigenschaften wie Größe oder Masse des frei fallenden Teilchens ab (Äquivalenzprinzip). Da die Raumzeit gekrümmt ist, ergibt die Projektion der Geodäten auf den dreidimensionalen Ortsraum normalerweise keine Geraden, sondern beispielsweise Wurfparabeln.

Quelle der Gravitation ist in der Grundgleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie der Energie-Impuls-Tensor, der sich aus Energiedichte, Impulsdichten, Energieströmen und Impulsströmen zusammensetzt. Da die Energie ruhender Körper durch ihre Masse bestimmt ist, bewirkt allein deren Masse die Gravitation. Kann man die Bewegung der gravitationserzeugenden Körper vernachlässigen und ist die Geschwindigkeit der frei fallenden Teilchen klein gegen die Lichtgeschwindigkeit, so wirkt sich die Masse der gravitationserzeugenden Körper wie in Newtons Gravitationstheorie aus. Für Licht als Testteilchen trifft diese Einschränkung nicht zu: Es wird an der Sonne doppelt so stark abgelenkt, wie nach Newton zu erwarten wäre.

Ursprung der Massen der Elementarteilchen

Im Standardmodell der Elementarteilchenphysik wird der Ursprung der Massen der Elementarteilchen durch den Higgs-Mechanismus erklärt. Durch Wechselwirkung mit dem Higgs-Boson, einem skalaren Elementarteilchen, das möglicherweise experimentell beobachtet wurde,<ref name="CERN20120704">CERN experiments observe particle consistent with long-sought Higgs boson. Pressemitteilung von CERN. 4. Juli 2012. Abgerufen am 4. Juli 2012.</ref> erhalten sie eine Masse, wenn das dazugehörende Higgs-Feld auch im Vakuum nicht verschwindet.<ref>In supersymmetrischen Theorien könnte ein ähnlicher Mechanismus auch durch andere Teilchen (Goldstinos) vermittelt werden (siehe Goldstonetheorem, Gravitino und:  DELPHI Collaboration: P. Abreu et al.: Search for the sgoldstino at √s from 189 to 202 GeV. In: CERN-EP/2000-110. 16. August 2000 (PDF, online).)</ref> Nur die Masse des Higgs-Bosons selbst wird hierdurch nicht erklärt.

Die Massen der Baryonen, zu denen auch Proton und Neutron gehören, sind allerdings ca. 100-mal größer als die Massen der drei Quarks, aus denen sie bestehen. Die Baryonenmassen werden dynamisch erklärt. Ansätze zur Berechnung liefern Gitterrechnungen in der QCD. Halb anschaulich kann man mit der geringen Ausdehnung der Baryonen von etwa 10⁻¹⁵ m argumentieren: Wenn sich die Quarks im Baryon auf so kleinem Raum konzentrieren, haben sie eine so kurze de-Broglie-Wellenlänge, dass ihre kinetische Energie <math>E_\text{kin}</math> nach Einsteins Formel <math>E=m c^2</math> erhebliche Masse bedeutet. Drei solcher Konstituenten-Quarks ergeben dann tatsächlich etwa die Masse des Protons oder Neutrons.

Die Baryonen machen den größten Teil der Masse sichtbarer Materie aus. Es wird vermutet, dass „WIMPs“ (engl. weakly interacting massive particles) wie etwa das hypothetische LSP (engl. lightest supersymmetric particle) die nicht sichtbare Dunkle Materie aufbauen könnten.

Sprachgebrauch: Masse und Gewicht

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird die Masse eines Objekts auch als Gewicht bezeichnet. Beispiele sind das Übergewicht, Leergewicht, Abtropfgewicht oder Gewichtsangaben in Kochrezepten. Dies trifft auch auf viele Gesetze und Verordnungen zu. Beispiele sind das Deutsche Mutterschutzgesetz<ref>Etwa § 4(2): „Lasten von mehr als fünf Kilogramm Gewicht“, vgl. Text von § 4 des Deutschen Mutterschutzgesetzes.</ref> und das Schweizer Straßenverkehrsgesetz.<ref>Etwa Art. 9: „Das höchstzulässige Gewicht für Fahrzeuge oder Fahrzeugkombinationen beträgt 40 t“, vgl. Text (PDF; 357 kB) des Schweizer Straßenverkehrsgesetzes.</ref>

Beim Gleichsetzen von Masse und Gewichtskraft kann der Eindruck entstehen, die Masse hänge von der vor Ort herrschenden Schwerkraft ab. So ist die folgende Aussage missverständlich: „Auf dem Mond wiegt ein 60 kg schwerer Mensch nur ungefähr 10 kg.“ Klarer ist: „Ein Mensch mit einer Masse von 60 kg wiegt auf dem Mond ungefähr so viel, wie ein Mensch mit einer Masse von 10 kg auf der Erde wiegt.“

Siehe auch

• Liste mit Größenordnungen von Massen
• Massendichte

Literatur

• Max Jammer: Der Begriff der Masse in der Physik. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1964 (Concepts of Mass in Classical and Modern Physics, Harvard 1961, deutsch).
•  Gordon Kane: Das Geheimnis der Masse. In: Spektrum der Wissenschaft. Nr. 2, Spektrum der Wissenschaft Verlag, 2006, ISSN 0170-2971, S. 36–43.

Weblinks

• Seite der PTB zum Kilogramm (mit Hinweisen auf Projekte zur Neudefinition)
• Versuche und Aufgaben zur Masse (LEIFI)
• The Problem of Mass for Quarks and Leptons. Vortrag (engl.) von Harald Fritzsch am 22. März 2000 im Kavli Institute for Theoretical Physics (Vortragsunterlagen / Audioaufzeichnung).
• Lew Borissowitsch Okun: The Concept of Mass in the Einstein Year. (arXiv). PDF, 175 kB.

Fußnote

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Einzelnachweise und Fußnoten

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