Rademacher-Verteilung

Die Rademacher-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \{-1,1\} </math>, die unter anderem zur Definition des symmetrischen Random Walk auf <math> \mathbb{Z} </math> genutzt wird.

Sie ist nach Hans Rademacher benannt.

Definition

Die Rademacher-Verteilung ist definiert auf <math> \{-1,1 \} </math> und besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

<math> f(n)=\begin{cases}

0{,}5 & \text{ falls } n =-1 \\ 0{,}5 & \text{ falls } n =1 \end{cases} </math>

Die Verteilungsfunktion ist dann

<math> F_X(t)=\begin{cases}

0 & \text{ falls } t <-1 \\ 0{,}5 & \text{ falls } -1 \leq t < 1 \\ 1 & \text{ falls } t \geq 1 \end{cases} </math>

Eigenschaften

Erwartungswert und andere Lagemaße

Der Erwartungswert einer Rademacher-verteilten Zufallsvariablen ist

<math> \operatorname{E}(X)=0 </math>.

Der Median ist

<math> \tilde m =0 </math>.

Varianz

Die Varianz entspricht der Standardabweichung:

<math> \operatorname{Var}(X)=\sigma_X=1 </math>.

Schiefe

Die Schiefe ist

<math>\operatorname{v}(X)=0</math>.

Exzess und Wölbung

Der Exzess der Rademacher-Verteilung ist

<math> \gamma=-2 </math>.

Damit ist die Wölbung

<math> \beta_2=1 </math>.

Höhere Momente

Die k-ten Momente sind

<math> m_k=\begin{cases}

0 & \text{ falls k gerade} \\ 1 & \text{ falls k ungerade} \end{cases} </math>

Entropie

Die Entropie ist

<math> \Eta(X)=\log_2(2) </math>

gemessen in Bit.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

<math> g_X(t)=\ln(\cosh(t)) </math>.

Damit ist die erste Ableitung

<math> g'_X(t)=\tanh (t) </math>

und daher <math> \tau_1=0 </math> die erste Kumulante. Für die höheren Ableitungen gibt es geschlossene Darstellungen.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist

<math> M_X(t)=\cosh(t) </math>.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist

<math> \varphi_X(t)=\cos(t) </math>.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Zweipunktverteilung

Die Rademacher-Verteilung ist eine Zweipunktverteilung mit <math> a=-1, b=1, p=q=0{,}5 </math>.

Beziehung zur diskreten Gleichverteilung

Die Rademacher-Verteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf <math> x_1=-1, x_2=1 </math>.

Beziehung zur Bernoulli-Verteilung

Sowohl die Bernoulli-Verteilung mit <math> p=q=0{,}5 </math> als auch die Rademacher-Verteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich kodiert werden.

Beziehung zur Binomial-Verteilung und dem Random Walk

Sind <math> X_1, X_2,\dots </math> unabhängige Rademacher-verteilte Zufallsvariablen, so ist

<math> Y_n:=\sum_{i=1}^nX_i </math>

genau der symmetrische Random Walk auf <math> \mathbb{Z} </math>. Demnach ist

<math> 0{,}5\left(n+\sum_{i=1}^nX_i\right) \sim Bin(n;0{,}5)</math>

also binomialverteilt.

Beziehung zur Laplace-Verteilung

Ist <math> X </math> Rademacher-verteilt, und ist <math> Y </math> exponentialverteilt zum Parameter <math> \lambda </math>, so ist <math> X \cdot Y </math> Laplace-verteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparameter <math> \frac{1}{\lambda} </math>.