Weibull-Verteilung

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist

<math>\operatorname{v}(X) = \frac{\Gamma(1+3/k) / \lambda^3 - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}</math>

mit dem Mittelwert <math>\mu = \operatorname{E}(X)</math> und der Standardabweichung <math>\sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}</math>.

Entropie

Die Entropie der Weibull-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

<math>\frac{(k-1)\gamma}{k} - \ln(\lambda k) + 1</math>

wobei <math>\gamma</math> die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Anwendungen

Bei Systemen mit unterschiedlichen Ausfallursachen wie beispielsweise technischen Komponenten lassen sich diese mit drei Weibull-Verteilungen so abbilden, dass sich eine „Badewannen-Kurve“ ergibt.<ref>Siehe auch:en:Exponentiated Weibull distribution</ref> Die Verteilungen decken dann diese drei Bereiche ab:<ref>Zuverlässigkeitssicherung bei Automobilherstellern und Lieferanten. 3. Auflage. VDA, Frankfurt a. M. 2000, ISSN 0943-9412, Abschnitt 2.4.3. (Qualitätsmanagement in der Automobilindustrie 3)</ref>

• Frühausfälle mit <math>k < 1</math>, beispielsweise in der Einlaufphase
• Zufällige Ausfälle mit <math>k = 1</math> in der Betriebsphase
• Ermüdungs- und Verschleißausfälle am Ende der Produktlebensdauer mit <math>k > 1</math>

In der mechanischen Verfahrenstechnik findet die Weibull-Verteilung Anwendung als eine spezielle Partikelgrößenverteilung. Hier wird sie allerdings als RRSB-Verteilung (nach Rosin, Rammler, Sperling und Bennet) bezeichnet.

Weibullnetz

Trägt man die Verteilung in der Form

<math>\ln\left(\ln{\frac{1}{1-F(x)}}\right)=k \cdot \ln(x) - k \cdot \ln(T)</math>

in einem doppelt logarithmischen Diagramm auf, welches auch als Weibullnetz bezeichnet wird, ergibt sich eine Gerade, bei der man den Parameter <math>k</math> leicht als Steigung ablesen kann. Die charakteristische Lebensdauer <math>T</math> kann dann folgendermaßen bestimmt werden:

<math>T=\mathrm{e}^{-\left(\displaystyle\frac{a}{k}\right)}</math>.

Hierbei bezeichnet <math>a</math> den y-Achsenabschnitt.

Oft kommt es vor, dass trotz Beanspruchung erst nach einer anfänglichen Betriebszeit <math>t_0</math> Ausfälle eintreten (beispielsweise infolge des Verschleiß von Bremsbelägen). Dies kann in der Weibull-Verteilungsfunktion berücksichtigt werden. Sie hat dann folgendes Aussehen:

<math>F(t)=1-\mathrm{e}^{-\left(\displaystyle\frac{t-t_0}{T-t_0}\right)^{\displaystyle k}}</math>

Trägt man die Funktion wieder auf, ergibt sich keine Gerade, sondern eine nach oben konvexe Kurve. Verschiebt man alle Punkte um den Wert <math>t_0</math>, so geht die Kurve in eine Gerade über.

Windgeschwindigkeit

Die Grafik zeigt beispielhaft eine Messreihe von Windgeschwindigkeiten (grün). Ein Gauß-Fit (blau) nähert sich den Zahlen nur ungenügend. Weder gibt es negative Windgeschwindigkeiten, noch ist die Verteilung symmetrisch. Eine Weibullverteilung führt einen zweiten freien Parameter ein. Durch sie wird die Verteilung für große und kleine Windgeschwindigkeiten sehr gut approximiert, ebenso die Werte um das Maximum. Aus den Fitparametern λ (1/5,1= 0,194) und k (2,00) folgt ein Erwartungswert von 4,5 m/s, in guter Übereinstimmung mit dem Wert von 4,6 m/s bestimmt aus den Messwerten.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Exponentialverteilung

• Man sieht, dass der Fall <math>k = 1</math> die Exponentialverteilung <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math> ergibt. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate <math>\lambda</math>. Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender (<math>k>1</math>) oder fallender (<math>k<1</math>) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
• Ist der Parameter <math>k>1</math>, dann wird ein System mit einer mit der Zeit ansteigenden Ausfallrate, also ein alterndes System, beschrieben.
• Besitzt <math>X</math> eine Exponentialverteilung <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math> mit Parameter <math>\lambda</math>, dann besitzt die Zufallsvariable <math>Y := X^{1/k} ~(k>0)</math> eine Weibull-Verteilung <math>\operatorname{Wei}(\lambda^{1/k}, k)</math>. Zum Beweis betrachte man die Verteilungsfunktion von <math>Y</math>:
  <math>F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^{1/k} \le y) = P(X \le y^k) = 1 - e^{-\lambda \cdot y^k} = 1 - e^{-(\lambda^{1/k} \cdot y)^k},~y > 0</math>.
  Das ist die Verteilungsfunktion einer Weibull-Verteilung.

Gestreckte Exponentialfunktion

Die Funktion

<math>1 - F(x) = \mathrm{e}^{-(\lambda \cdot x)^k}</math>

wird als gestreckte Exponentialfunktion bezeichnet.

Siehe auch

• Mortalität
• Extremwerttheorie

Literatur

• Bernard W. Lindgren: Statistical Theory. Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
• Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1970.
• Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-25905-9.
• Horst Rinne, Hans-Joachim Mittag: Statistische Methoden der Qualitätssicherung. Hanser, München/Wien 2002, ISBN 3-446-15503-1.
• Holger Wilker: Weibull-Statistik in der Praxis, Leitfaden zur Zuverlässigkeitsermittlung technischer Produkte. BoD, Norderstedt 2010, ISBN 978-3-8391-6241-5.

Weblinks

• Weibull-Verteilung in der Zuverlässigkeitsanalyse
• Weibull-Verteilung und deren Anwendung bei Keramiken
• Praktikumsanleitung zur Bestimmung der Weibull-Verteilung bei Keramiken

Quellen

<references />

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