Studentsche t-Verteilung

Die studentsche t-Verteilung (auch Student-t-Verteilung) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1908 von William Sealy Gosset entwickelt wurde.<ref name="Bleymueller2004"> Josef Bleymüller, Günther Gehlert, Herbert Gülicher: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. 14. Auflage. Vahlen, 2004, S. 16.</ref>

Er hatte festgestellt, dass die standardisierte Schätzfunktion des Stichproben-Mittelwerts normalverteilter Daten nicht mehr normalverteilt, sondern t-verteilt ist, wenn die zur Standardisierung des Mittelwerts benötigte Varianz des Merkmals unbekannt ist und mit der Stichprobenvarianz geschätzt werden muss. Die t-Verteilung erlaubt die Berechnung der Verteilung der Differenz vom Mittelwert der Stichprobe zum wahren Mittelwert der Grundgesamtheit. Die t-Werte hängen ab vom Signifikanzniveau und vom Stichprobenumfang <math>n</math> und bestimmen das Vertrauensintervall und damit die Aussagekraft der Schätzung des Mittelwertes. Die t-Verteilung wird mit wachsendem <math>n</math> schmaler und geht für <math>n\to\infty</math> in die Normalverteilung über (siehe Grafik rechts). Hypothesentests, bei denen die t-Verteilung Verwendung findet, bezeichnet man als t-Tests.

Die Herleitung wurde erstmals 1908 veröffentlicht, während Gosset in einer Guinness-Brauerei arbeitete. Da sein Arbeitgeber die Veröffentlichung nicht gestattete, veröffentlichte Gosset sie unter dem Pseudonym Student. Der t-Faktor und die zugehörige Theorie wurden erst durch die Arbeiten von R. A. Fisher belegt, der die Verteilung Student’s distribution (Students Verteilung) nannte.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable <math>X</math> genügt der studentschen t-Verteilung mit <math>n</math> Freiheitsgraden, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

<math>f_n(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} {\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}</math>

für <math>-\infty < x < +\infty</math> besitzt. Dabei ist

<math>\Gamma(x)=\int\limits_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\operatorname{d}t</math>

die Gamma-Funktion.

Alternativ lässt sich die t-Verteilung mit <math>n</math> Freiheitsgraden auch definieren als die Verteilung der Größe

<math>t_n=\frac{Z}{\sqrt{\chi_n^2/n}},</math>

wobei <math>Z</math> eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist, und <math>\chi_n^2</math> eine, von <math>Z</math> unabhängige, Χ²-verteilte Zufallsvariable mit <math>n</math> Freiheitsgraden bedeutet.

Verteilung

Die Verteilungsfunktion lässt sich geschlossen ausdrücken als

<math>F_n(t)= I \left( \frac{t+\sqrt{t^2+n}}{2\sqrt{t^2+n}},\frac{n}{2},\frac{n}{2} \right),</math>

oder als

<math>F_n(t)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{t}{|t|} I \left( \frac{t^2}{t^2+n},\frac{1}{2},\frac{n}{2}\right)\right),</math>

mit

<math> I(z,a,b)=\frac{1}{B(a,b)} \int_0^z t^{a-1} (1-t)^{b-1}\mathrm{d}t,</math>

wobei <math>B</math> die Betafunktion darstellt.

<math>F_n(t)</math> berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine gemäß <math>f_n(x)</math> verteilte Zufallsvariable <math>X</math> einen Wert kleiner oder gleich <math>t</math> erhält.

Eigenschaften

Es sei <math>X</math> eine t-verteilte Zufallsvariable mit <math>n</math> Freiheitsgraden und Dichte <math>f_n(x)</math>.

Wendepunkte

Die Dichte besitzt Wendepunkte bei

<math>x=\pm\,\sqrt{\frac{n}{n+2}}.</math>

Median

Der Median ist

<math>\tilde{x}=0.</math>

Modus

Der Modus ergibt sich zu

<math>\!\,x_D=0.</math>

Erwartungswert

Für den Erwartungswert erhält man für <math>n>1</math>

<math>\operatorname{E}(X)=0.</math>

Der Erwartungswert für <math>n=1</math> existiert nicht.

Varianz

Die Varianz ergibt sich für <math>n>2</math> zu

<math>\operatorname{Var}(X)=\frac{n}{n-2}.</math>

Schiefe

Die Schiefe ist für <math>n>3</math>

<math>\operatorname{v}(X)=0.</math>

Wölbungen

Für die Kurtosis-Wölbung <math>\beta_2</math> und die Exzess-Wölbung <math>\gamma_2</math> erhält man für <math>n>4</math>

<math>\operatorname{\beta_2}(X)=\frac{\mu_4}{\mu_2^2}=\frac{3n-6}{n-4},\qquad

\operatorname{\gamma_2}(X)=\frac{\mu_4}{\mu_2^2}-3=\frac{6}{n-4}.</math>

Momente

Für die <math>k</math>-ten Momente <math>m_k=\operatorname{E}(X^k)</math> und die <math>k</math>-ten zentralen Momente <math>\mu_k=\operatorname{E}([X-\operatorname{E}(X)]^k)</math> gilt:

<math>m_k=\mu_k=0, \text{ falls } n>k \text{ und } k \text{ ungerade}</math>,

<math>m_k=\mu_k=n^{k/2}\cdot\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\dotsm(k-1)}{(n-2)\cdot(n-4)\cdot(n-6)\dotsm(n-k)},

\text{ falls } n>k \text{ und } k \text{ gerade}</math>.

Nichtzentrale t-Verteilung

Ist der Zähler der t-verteilten Zufallsvariablen normalverteilt mit einem Erwartungswert <math>\mu\neq 0</math>, handelt es sich um eine so genannte nichtzentrale t-Verteilung mit dem Nichtzentralitätsparameter <math>\mu</math>. Diese Verteilung wird vor allem zur Bestimmung des β-Fehlers bei Hypothesentests mit t-verteilter Prüfgröße verwendet.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Cauchy-Verteilung

Für <math>n=1</math> und mit <math>\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}</math> ergibt sich die Cauchy-Verteilung als Spezialfall aus der Studentschen t-Verteilung.

Beziehung zur χ²-Verteilung und Standardnormalverteilung

Die t-Verteilung beschreibt die Verteilung eines Ausdruckes

<math>t_n=\frac{\mathcal{N}(0,1)}{\sqrt{\frac{\chi_n^2}{n}}}</math>

wobei <math>\mathcal{N}(0,1)</math> eine standardnormalverteilte und <math>\chi_n^2</math> eine χ²-verteilte Zufallsvariable mit <math>n</math> Freiheitsgraden bedeutet. Die Zählervariable muss unabhängig von der Nennervariable sein. Die Dichtefunktion der t-Verteilung ist dann symmetrisch bezüglich ihres Erwartungswertes 0. Die Werte der Verteilungsfunktion liegen in der Regel tabelliert vor.

Näherung durch die Normalverteilung

Mit steigender Zahl von Freiheitsgraden kann man die Verteilungswerte der t-Verteilung mit Hilfe der Normalverteilung annähern. Als Faustregel gilt, dass ab 30 Freiheitsgraden die t-Verteilungsfunktion durch die Normalverteilung approximiert werden kann.

Verwendung in der mathematischen Statistik

Verschiedene Schätzfunktionen sind t-verteilt.

Wenn die unabhängigen Zufallsvariablen <math>X_1, X_2, \dotsc, X_n</math> identisch normalverteilt sind mit Erwartungswert <math>\mu </math> und Standardabweichung <math>\sigma </math>, kann bewiesen werden, dass der Stichprobenmittelwert

<math>\bar{X}=\frac 1n\sum_{i=1}^nX_i</math> und die Stichprobenvarianz <math>S^2=\frac 1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2</math> stochastisch unabhängig sind.

Weil die Zufallsgröße <math>\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}</math> eine Standardnormalverteilung hat und <math>(n-1)\, S^2/\sigma^2</math> einer Chi-Quadrat-Verteilung mit <math>n-1</math> Freiheitsgraden folgt, ergibt sich, dass die Größe

<math>t_{n-1}=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\cdot\frac\sigma\sigma=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\cdot\frac\sigma S=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}/\left(\frac S\sigma\right)=

\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}/\sqrt{\chi_{n-1}^2/(n-1)}</math> nach Definition t-verteilt ist mit <math>n-1</math> Freiheitsgraden.

Also ist der Abstand des gemessenen Mittelwertes vom Mittelwert der Grundgesamtheit verteilt wie <math>t_{n-1} S/\sqrt{n}</math>. Damit berechnet man dann das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> zu

<math>\overline{x}-t \cdot S/\sqrt{n} \leq \mu \leq \overline{x}+t \cdot S/\sqrt{n}</math>,

wobei <math>t</math> durch <math>F_{n-1}(t)=0{,}975</math> bestimmt ist. Dieses Intervall ist für <math>n < \infty</math> etwas größer als dasjenige, welches sich mit bekanntem <math>\sigma</math> aus der Verteilungsfunktion der Normalverteilung bei gleichem Konfidenzniveau ergeben hätte <math>\left( \mu \in (\overline{x}\pm 1{,}96 \cdot \tfrac{\sigma}{\sqrt{n}})\right)</math>.

Herleitung der Dichte

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der t-Verteilung lässt sich herleiten aus der gemeinsamen Dichte der beiden unabhängigen Zufallsvariablen Z und <math>\chi^2_n</math>, die standardnormal, beziehungsweise Chi-Quadrat-verteilt sind.<ref>Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probability and Statistics in Particle Physics, Universitetsforlaget, Bergen / Oslo / Tromsö, S. 141</ref>

<math>

f_{Z,\chi^2_n}(z,y)= \frac{e^{-\frac 12z^2}}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{y^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac 12y}}{2^\frac n2\Gamma(\frac n2)}. </math>

Mit der Transformation

<math>

t=z/\sqrt{y/n},v=y , </math>

bekommt man die gemeinsame Dichte von <math>T=Z/\sqrt{\chi^2_n/n}</math> und <math>\chi^2_n</math>, wobei <math>\;-\infty < t < \infty</math> und <math>0\leq v < \infty</math>.

Die Jacobideterminante dieser Transformation ist:

<math>\det\frac{\partial(z,y)}{\partial(t,v)}=\begin{vmatrix}

    \sqrt{\frac{v}{n}}&0\\
    \Diamond&1

\end{vmatrix}=\sqrt{\frac{v}{n}}</math>.

Der Wert <math>\Diamond</math> ist unwichtig, weil er bei der Berechnung der Determinante mit 0 multipliziert wird. Die neue Dichtefunktion schreibt sich also

<math>

f_{T,\chi^2_n}(t,v)=\frac{e^{-\frac 12 v \frac{t^2}n}}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{1}{2^\frac n2 \Gamma(\frac n2)}v^{\frac n2-1}e^{-\frac 12v}\cdot\sqrt{\frac{v}{n}}. </math>

Gesucht ist nun die Randverteilung <math>f_n(t)</math> als Integral über die nicht interessierende Variable v:

<math>

f_n(t)=\int\limits_{0}^\infty f_{T,\chi^2_n}(t,v)\,dv=\frac{1}{\sqrt{n\pi}\,2^{(n+1)/2}\Gamma(n/2)} \int\limits_{0}^\infty v^{(n-1)/2}e^{-v(1+t^2/n)/2}\,dv=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} {\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\frac{t^{2}}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}. </math>

Ausgewählte Quantile der t-Verteilung

Tabelliert sind t-Werte für verschiedene Freiheitsgrade <math>n</math> und gebräuchliche Wahrscheinlichkeiten <math>P</math> (0,75 bis 0,999), wofür:

<math>P_{\text{einseitig}}=F_n(t)=P(T_n\leq t)</math>.

Aufgrund der Spiegelsymmetrie der Dichte braucht man für den Fall des beidseitig symmetrisch begrenzten Intervalls nur die Wahrscheinlichkeitsskala anzupassen. Dabei verringern sich die Wahrscheinlichkeiten bei gleichem <math>t</math>, denn das Integrationsintervall wird durch Wegschneiden des Bereichs von <math>-\infty</math> bis <math>- t</math> reduziert.

<math>P_{\text{zweiseitig}}=F_n(t)-F_n(-t)=P(-t<T_n\leq t)=2P_{\text{einseitig}}-1</math>.

Werden bei einer Stichprobe <math>N</math> Beobachtungen durchgeführt und aus der Stichprobe <math>m</math> Parameter geschätzt, so ist <math>n=N-m</math> die Anzahl der Freiheitsgrade.

Zu der Anzahl von Freiheitsgraden <math>n</math> in der ersten Spalte und dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math> (dargestellt als <math>1-\alpha</math> in der zweiten Zeile) wird in jeder Zelle der folgenden Tabelle der Wert des (einseitigen) Quantils <math>t_{n,\alpha}</math>, entsprechend DIN 1319-3, angegeben. Dies erfüllt für die Dichte <math>f_n</math> der <math>t_n</math>-Verteilung die folgenden Gleichungen:

(einseitig): <math>\int_{-\infty}^{t_{n,\alpha}}f_n(x)\,\mathrm{d}x=1-\alpha</math>

(zweiseitig):<math>\int_{-t_{n,\alpha/2}}^{t_{n,\alpha/2}}f_n(x)\,\mathrm{d}x=1-\alpha</math>

Also findet man beispielsweise mit <math>n = 4</math> und <math>\alpha = 0{,}05</math> die t-Werte von 2,776 (zweiseitig) oder 2,132 (einseitig).

Die Quantilfunktion der t-Verteilung <math>x_p</math> ist die Lösung der Gleichung <math>p=F(x_p|m,\,n)</math> und damit prinzipiell über die Umkehrfunktion zu berechnen. Konkret gilt hier

<math>x_p=\frac{\sqrt{n}\left(2 I^{-1}(p,\frac n2,\frac n2)-1\right)}{2\sqrt{\left(1-I^{-1}(p,\frac n2,\frac n2)\right) \cdot I^{-1}(p,\frac n2,\frac n2)}},</math>

mit <math> I^{-1}</math> als Inverse der regularisierten unvollständigen Betafunktion. Dieser Wert <math>x_p</math> ist in der Quantiltabelle unter den Koordinaten p und n eingetragen.

Für wenige Werte n (1,2,4) vereinfacht sich die Quantilfunktion<ref>W.T. Shaw: Sampling Student’s T distribution – Use of the inverse cumulative distribution function.. In: Journal of Computational Finance. 9, Nr. 4, 2006, S. 37–73.</ref>:

<math> n=1: x_p=\operatorname{tan} (\pi(p-1/2)) ,</math>

<math> n=2: x_p=(p-1/2)\sqrt{\frac{2}{ p(1-p)}} ,</math>

<math> n=4: x_p=\sqrt{\frac{2\cos \left( \frac{1}{3} \arccos \left(2 \sqrt{p(1-p)} \, \right) \right)}{\sqrt{p(1-p)}}-4} .</math>

Tabelle einiger t-Quantile

Weblinks

• Interaktiver Graph der t-Verteilung (mit anschaulicher Erklärung)
• Webrechner für exakte Werte

Einzelnachweise

<references />